第6讲正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝()A．B.C．D.解析：选C.易知cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故选C.2．(2018·宝鸡质量检测(一))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，则sinA＝()A．B.C．D.解析：选B.因为＝，即＝，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，所以sinA＝，故选B.3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinB·cosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，所以A＝，故选B.4．(2018·南昌第一次模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为()A．B．C．1D．2解析：选A.由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×＝.故选A.5．(2018·云南第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinAsinC，则△ABC的面积S△ABC＝()A．B．3C．D．6解析：选B.由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac①，又B＝，所以a2＋c2＝b2②，联立①②解得a＝c＝，所以S△ABC＝××＝3，故选B.6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为()A．B.C．D.解析：选B.在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB，因为AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin60°＝，即BC边上的高为.二、填空题7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，1得－＝，解得c＝4.答案：48．(2018·贵阳检测)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tanA＝________．解析：c2＝a2＋b2－2abcosC＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，所以c＝b，cosA＝＝＝，所以sinA＝＝＝，所以tanA＝＝.答案：9．(2018·广西三市第一次联考)设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinC＝4sinA，(ca＋cb)(sinA－sinB)＝sinC(2－c2)，则△ABC的面积为________．解析：由a2sinC＝4sinA得ac＝4，由(ca＋cb)(sinA－sinB)＝sinC(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cosB＝，则sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝.答案：10．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝.在△ACD中，AD＝＝4，＝，sinA＝＝.在△ABC中，＝，BC＝＝4.答案：4三、解答题11．(2018·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积S.解：(1)因为asinB＋bcosA＝0，所以sinAsinB＋sinBcosA＝0，即sinB(sinA＋cosA)＝0，由于B为三角形的内角，所以sinA＋cosA＝0，所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcosA，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2，所以S＝bcsinA＝×2×2×＝2.12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cosB＝，S＝，求b.解：(1)证明：由已知得，a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝b.在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acosC＋ccosA＝b.所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.(2)因为cosB＝，所以sinB＝.因为S＝acsinB＝ac＝，所以ac＝8.又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，2(a＋c)＝3b，所以b2＝－16×.所以b＝4.21．(2018·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值．...
