4.5函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换1.若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是()A.B.C.D.3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________.4.已知函数f(x)=4cosx·sin+a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)画出f(x)在[0,π]上的图象.【解析】1.选A.f(x)=cos=sin=sin=sin2,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=sin,向左平移φ个单位可得y=sin,因为y=sin是偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是.3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin=sin,把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin=sin,根据题意可得y=sin和y=sin的图象重合,故+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsin+a=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期T==π.(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:x0π2x+π2πf(x)=2sin120-201画图如图所示:1.由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图象.考点二由图象求解析式【典例】1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为______.【解题导思】序号联想解题1看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.2由图象的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.【解析】1.选C.T=2=π=,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).由五点作图法知A是第二个点,得2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,f(x)=sin.由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为是一个对称中心,=-=,所以全部对称中心为(k∈Z),等价于(k∈Z).2.由题图知A=,=-=,所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又对应五点法作图中的第三个点,所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)=sinB.f(x)=sinC.f(x)=sinD.f(x)=sin【解析】选D.由图象可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.【解析】由图象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=,又|φ...
