第二节空间几何体的表面积与体积【最新考纲】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O的半径R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．已知圆锥的表面积为am2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.B.C.D.解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝，直径2r＝.答案：C3．(2015·新课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．答案：B4．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．解析：设球的半径为R，则πR3＝.∴R＝，又2R＝a，得a＝.答案：5．(2016·邯郸质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.答案：200一种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．两种方法——割补法与等积法1．割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．两个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．A级基础巩固一、选择题1．(2014·课标全国Ⅱ卷)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A．3B.C．1D.解析：因为B1C1∥BD，所以BD∥平面AB1C1，∴点B和D到面AB1C1的距离相等．所以VAB1DC1＝VDAB1C1＝VBAB1C1＝VC1ABB1＝××2×()2＝1.答案：C2．(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.B.C.D.解析：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L＝2πr，所以圆锥底面圆的半径r＝，则圆锥的体积为V＝Sh＝πr2h＝π·h＝L2h.又V≈L2h，所以L2h≈L2h，解得π≈.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2B.C.D．3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.答案：D4．正四棱锥的顶点都在同...
