第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义2,3抛物线的标准方程1,6抛物线的几何性质5,7,11直线与抛物线的关系4,12,13综合8,9,10,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015河北唐山摸底)抛物线y=2x2的准线方程是(D)(A)x=-(B)y=-(C)x=-(D)y=-解析:抛物线y=2x2可化为x2=y,焦点在y轴上,2p=,所以=,所以抛物线y=2x2的准线方程是y=-.2.在平面直角坐标系中,到点(1,1)和直线2x+y=3距离相等的点的轨迹是(A)(A)直线(B)抛物线(C)圆(D)双曲线解析:因为点(1,1)在直线2x+y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线2x+y=3垂直的直线.3.抛物线x2=4y上一点A(x0,2),则点A到点M(0,1)的距离为(C)(A)(B)2(C)3(D)4解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),准线l:y=-1.而M点恰好为抛物线的焦点,故由定义得|AM|等于点A到准线的距离d,则d=2-(-1)=3.4.已知点A(2,1),抛物线y2=4x的焦点是F,若抛物线上存在一点P,使得|PA|+|PF|最小,则P点的坐标为(D)(A)(2,1)(B)(1,1)(C)(,1)(D)(,1)解析:如图,设抛物线准线为l,作AA′⊥l于A′,则|PA|+|PF|≥AA′,即当P点为AA′与抛物线交点时,|PA|+|PF|最小,此时P(,1).故选D.5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(C)(A)(B)(C)(D)2解析:法一由题意设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),如图所示,|AF|=x1+1=3,所以x1=2,y1=2.设AB的方程为x-1=ty,由消去x得y2-4ty-4=0.所以y1y2=-4,所以y2=-,x2=,所以S△AOB=×1×|y1-y2|=.法二不妨设A(x1,y1),B(,y2),y1>0,y2<0,由|AF|=x1+1=3得x1=2于是y1=2,由A,B,F三点共线知=,整理解得y2=-,所以S△AOB=×1×|y1-y2|=.6.(2016河北石家庄五校联考)抛物线y=x2的焦点坐标是.解析:抛物线y=x2即x2=4y,所以p=2,=1,故焦点坐标是(0,1).答案:(0,1)7.抛物线y2=16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是.解析:设P(x0,y0),抛物线y2=16x的顶点为O(0,0),焦点为(4,0),准线为x=-4.由题意得:|x0-(-4)|=,即(x0+4)2=+16x0,解得x0=2.代入抛物线方程得=16×2=32,故y0=±4.所以P(2,±4).答案:(2,±4)8.抛物线形拱桥顶距离水面2米,水面宽4米,当水上升1米时,水面宽将减少米.解析:设方程为x2=-2py(p>0),由已知过点(2,-2),代入得p=1,即方程为x2=-2y;当y=-1时,x=±,此时水面宽为2米,那么减少了(4-2)米.答案:4-29.设P是曲线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解:(1)如图(1),易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交抛物线于点P,故最小值为=.(2)如图(2),过B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于P1,此时,|P1Q|=|P1F|,那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,当且仅当B,Q,P三点共线时,等号成立,故最小值为4.10.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
