专题跟踪训练(十三)1．(2015·福建卷)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝211＋53＝2101.2．(2015·湖南卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.[解](1)证明：由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)由(1)知，an≠0，所以＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝，从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．综上所述，Sn＝3．已知数列{an}的首项a1＝2，点在函数f(x)＝2x＋3的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，且T1，Tm，T6m成等比数列，求正整数m的值．[解](1)由题意得an＋1＋1＝an＋3，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以数列{an}的通项公式an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)知bn＝＝.于是Tn＝＝.由题意得T＝T1·T6m，即2＝×，整理得4m2－7m－2＝0，解得m＝－或m＝2.因为m∈N*，所以m＝2.4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a＝()bn，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意知2an＝Sn＋，an>0.当n＝1时，2a1＝a1＋，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，整理得＝2，∴数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列．∴an＝a1·2n－1＝·2n－1＝2n－2(n∈N*)．(2)a＝2－bn＝22n－4，∴bn＝4－2n，cn＝＝＝.∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋…＋＋，②①－②得Tn＝4－8(＋＋…＋)－＝4－8·－＝4－4（1－）－＝，∴Tn＝(n∈N*)．
