题组层级快练(六十一)1.(课本习题改编)直线y=ax+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.随a的变化而变化答案B解析 直线y=ax+1恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4的内部,故直线与圆相交.2.直线xsinθ+ycosθ=2+sinθ与圆(x-1)2+y2=4的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能答案B解析圆心到直线的距离d==2.所以直线与圆相切.3.过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0答案B解析圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.则有=3,∴k=-.此时直线l的方程为5x+12y+20=0.4.已知直线l:y=k(x-1)-与圆x2+y2=1相切,则直线l的倾斜角为()A.B.C.D.答案D解析由题意知,=1,∴k=-.∴直线l的倾斜角为.5.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5答案B解析设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.6.已知圆O:x2+y2-2x+my-4=0上两点M,N关于直线2x+y=0对称,则圆O的半径为()A.9B.3C.6D.2答案B解析由x2+y2-2x+my-4=0,得(x-1)2+(y+)2=1++4,圆心坐标为(1,-).又由已知条件可知圆心在直线2x+y=0上,将圆心坐标代入直线方程可求得m=4.设圆O的半径为r,则r2=1++4=9,解1得r=3.7.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析把x2+y2+2x+4y-3=0化为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),半径r=2,圆心到直线的距离为,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于.8.(2015·福建福州质检)若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,则CA·CB的值为()A.-1B.0C.1D.6答案B解析联立消去y,得x2-4x+3=0.解得x1=1,x2=3.∴A(1,3),B(3,5).又C(3,3),∴CA=(-2,0),CB=(0,2).∴CA·CB=-2×0+0×2=0.9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若C上存在的点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B解析由(x-3)2+(y-4)2=1得圆上点P(x0,y0)可化为 ∠APB=90°,即AP·BP=0,∴(x0+m)(x0-m)+y=0.∴m2=x+y=26+6cosθ+8sinθ=26+10sin(θ+φ)≤36.∴m≤6,即m的最大值为6.10.(2014·大纲全国)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.答案解析利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB各边,进而利用二倍角公式求夹角的正切值.如图,|OA|==. 半径为,∴|AB|===2.∴tan∠OAB===.∴所求夹角的正切值为tan∠CAB===.11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.答案4±解析依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-28a+1=0,解得a=4±.12.(2013·江西理)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于________.答案-解析曲线y=的图像如图所示.若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-),则点O到l的距离d=.又S△AOB=|AB|·d=×2·d=≤=,当且仅当1-d2=d2,即d2=时,S△AOB取得最大值.所以=.∴k2=,∴k=-.13.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.答案x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+5=0或x-y+1=0或(2±)x-y=0解析 切线在两坐标轴上截距的绝对值相等,∴切线的斜率是±1或过原点.①...