题组层级快练(六十一)1．(课本习题改编)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随a的变化而变化答案B解析 直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案B解析圆心到直线的距离d＝＝2.所以直线与圆相切．3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.4．已知直线l：y＝k(x－1)－与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为()A.B.C.D.答案D解析由题意知，＝1，∴k＝－.∴直线l的倾斜角为.5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是()A．(x－)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5答案B解析设圆心为(a,0)(a<0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝5.6．已知圆O：x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆O的半径为()A．9B．3C．6D．2答案B解析由x2＋y2－2x＋my－4＝0，得(x－1)2＋(y＋)2＝1＋＋4，圆心坐标为(1，－)．又由已知条件可知圆心在直线2x＋y＝0上，将圆心坐标代入直线方程可求得m＝4.设圆O的半径为r，则r2＝1＋＋4＝9，解1得r＝3.7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝2，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于.8．(2015·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则CA·CB的值为()A．－1B．0C．1D．6答案B解析联立消去y，得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3.∴A(1,3)，B(3,5)．又C(3,3)，∴CA＝(－2,0)，CB＝(0,2)．∴CA·CB＝－2×0＋0×2＝0.9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若C上存在的点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B解析由(x－3)2＋(y－4)2＝1得圆上点P(x0，y0)可化为 ∠APB＝90°，即AP·BP＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0.∴m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36.∴m≤6，即m的最大值为6.10．(2014·大纲全国)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．答案解析利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值．如图，|OA|＝＝. 半径为，∴|AB|＝＝＝2.∴tan∠OAB＝＝＝.∴所求夹角的正切值为tan∠CAB＝＝＝.11．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案4±解析依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－28a＋1＝0，解得a＝4±.12．(2013·江西理)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．答案－解析曲线y＝的图像如图所示．若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k<0，设l：y＝k(x－)，则点O到l的距离d＝.又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝≤＝，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝时，S△AOB取得最大值．所以＝.∴k2＝，∴k＝－.13．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．答案x＋y－3＝0或x＋y＋1＝0或x－y＋5＝0或x－y＋1＝0或(2±)x－y＝0解析 切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点．①...
