2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第45讲立体几何中的向量方法(二)—求空间角和距离实战演练理1．(2014·江西卷)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．解析：(1)证明：ABCD为矩形，故AB⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPG中，PG＝，GC＝，BG＝.设AB＝m，则OP＝＝，故四棱锥PABCD的体积为V＝··m·＝.因为m＝＝，故当m＝，即AB＝时，四棱锥PABCD的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0,0,0)，B，C，D，P，故PC＝，BC＝(0，，0)，CD＝，设平面BPC的一个法向量n1＝(x，y,1)，则由n1⊥PC，n1⊥BC得解得x＝1，y＝0，n1＝(1,0,1)．同理可求出平面DPC的一个法向量n2＝.从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为cosθ＝＝＝.2．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，1TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量．则即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3．(2016·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC．求二面角FBCA的余弦值．解析：(1)证明：设FC中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.又OB⊂平面ABC，GI⊄平面ABC，∴GI∥平面ABC．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．同理HI∥平面ABC．又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC．又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)，2所以BC＝(－2，－2，0)，过点F作FM垂直OB于点M.所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．故BF＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由可得可得平面BCF的一个法向量m＝.因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝.所以二面角FBCA的余弦值为.4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．解析：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC，故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O为坐标原点，OB，OB1，OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，OC＝OA，则A，B(1,0,0)，B1，C，AB1＝，A1B1＝AB＝，B1C1＝BC＝.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n＝(1，，)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m＝(1，－，)．所以cos〈n，m〉＝＝.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.3
