高考数学专题一第3讲知能演练轻松闯关训练题1．(2012·四川绵阳高三诊断)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1B．±1C．1D．±3解析：选B.由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·＝－1，即a2＝1，a＝±1，故选B.2．(2012·高考辽宁卷)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．3．(2012·高考湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.B.C.D.解析：选B.根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以S＝－1(1－x2)dx＝2(1－x2)dx＝2＝2＝.4．(2012·高考大纲全国卷)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1解析：选A. y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋y↗c＋2↘c－2↗因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.5．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()A．af(b)>bf(a)B．af(a)>bf(b)C．af(a)
－f(x)，得xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数．因为a>b，所以af(a)>bf(b)．6．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围为________．解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.所以当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．答案：7．(2012·高考江西卷)计算定积分－1(x2＋sinx)dx＝________.解析： ′＝x2＋sinx，∴(x2＋sinx)dx＝＝.答案：8．(2012·泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，y＝f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的命题：x－1045f(x)12211①函数f(x)的值域为[0,2]；②函数f(x)在区间[0,2]和[4,5]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1－2)．(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m0，f(x)单调递增，当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当－2
