第4讲导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1]．答案：B2．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案：D3．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析：函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋－2＝，由于x＞0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20＜0，所以g(x)＞0恒成立，故f′(x)＞0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．答案：A4．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.答案：A5．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调递减函数，则a的取值范围是()A．0＜a＜B.＜a＜C．a≥D．0＜a＜解析：f′(x)＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，因为f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f′(x)≤0在[－1，1]上恒成立．令g(x)＝x2＋2(1－a)x－2a，则解得a≥.答案：C二、填空题6．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2
