第6讲抛物线1．(2016·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为()A.B.C.D.解析：选D.抛物线x2＝y的焦点坐标是.2．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为()A.B.C.D.解析：选B.由题意知，抛物线准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝.3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：选A.设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P.4．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝12xB．y2＝－8xC．y2＝6xD．y2＝－4x解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得|x1|＋|x2|＋p＝8，又AB的中点到y轴的距离为2，即|x1|＋|x2|＝4，所以p＝4，所以y2＝－8x.故选B.5．(2016·云南省第一次检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果OA·OB＝－12，那么抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x解析：选C.由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.6．(2016·衡水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置()A．在C1开口内B．在C1上C．在C1开口外D．与p值有关解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，1即|AF|＝＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B.7．(2016·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.所以抛物线方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y8．(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.所以x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，所以x0＝.所以水面宽|CD|＝2m.答案：29．(2016·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.因为>2，所以A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2，2)．答案：(2，2)10．(2016·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为4，则抛物线方程为________．解析：由双曲线方程5x2－y2＝20知其渐近线方程为y＝±x，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，故其准线方程为x＝－，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令A，B，故S△ABO＝×p×＝p2＝4，解得p2＝16，又因为p>0，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x.2答案：y2＝8x11．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.又x1＋x2＝，x1x2＝4，所以|AB|＝＝＝3，所以5＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.12．已...
