一、函数的单调性培优点一函数的图象与性质例1：对于函数，若，，，都有，，为某一三角形的三条边，则称为“可构造三角形函数”，已知函数（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：，对，，恒成立，，当时，，，满足条件，当时，在上单调递减，∴，同理：，， ，所以，∴．当时，在上单调递增，∴，二、函数的奇偶性和对称性同理：，，∴，．∴．综上可得：实数的取值范围是．例2：设函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，∴，，又 由，结合，∴，，三、函数的周期性又由，可得， ，∴，令，则，将不等式整理即得：． ，∴，∴．故选C．例3：定义在上的奇函数满足，当时，．若在区间上，存在个不同的整数（，，，），满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】定义在上的奇函数满足，可得关于直线对称，四、函数性质的综合应用且，则，∴的周期为．函数的图象如下：比如，当不同整数分别为，，，，，时，取最小值， ，，，，则的最小值为，故选D．例4：已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数为定义在上的偶函数，且，对点增分集训则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，所以当时函数单调递减，又由，，所以不等式等价于，所以，平方得，解得．即不等式的解集为．一、选择题1．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数在上为减函数，，则在上恒成立，即在上恒成立，∴恒成立，∴，即，∴．故选D．2．已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的，，且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】定义在上的函数满足三个条件：由①对于任意的，都有，可知函数是周期的周期函数；②对于任意的，，且，都有，可得函数在上单调递增；③函数的图象关于轴对称，可得函数的图象关于直线对称．∴，，． ，∴．故选B．3．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为关于直线对称，所以关于轴对称，因为在上单调递增，所以在上单调递减，，，，因为，，根据函数对称性及单调性可知，所以选D．4．已知实数，分别满足：，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，即函数是奇函数，且函数为增函数， ，，∴，即，即， 为增函数，∴，即，把代入，得到，当且仅当，时取得最小值．故选C．5．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】易证得函数在上单调递增，当时，得，则；当时，得，则，综上得不等式的解集为．6．若对，，有，函数，的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 函数对任意，，都有，所以，∴令，，∴．令，，∴，∴．故选C．7．设函数是定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，∴，可得，即函数是周期为的周期函数，且图象关于直线对称．故在区间上的零点，即方程的根，分别画出与的函数图象，因为两个函数图象都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为个，分别设交点的横坐标从左往右依次为，，，，，，，，则，所以所有零点和为，故选B．8．已知函数是奇函数，，且与的图象的交点为，，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由此的图象关于点中心对称，是奇函数，，由此，所以关于点中心对称，，，所以，故选D．9．已知定义在上的函数满足：对任意，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，∴，且，又，∴，由此可得，∴，∴是周期为的函数，，∴，故选B．10．已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 函数的图象的对称中心为，∴，∴，即，得，∴，，又 的...
