第7节解三角形的综合应用[A级基础巩固]1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：B2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．答案：D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．答案：A4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案：B5．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100m，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40m．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A．210(＋)mB．140mC．210mD．20(－)m解析：由题意，设AC＝xm，则BC＝(x－40)m，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理，＝，可得CH＝AC·＝140(m)．答案：B6．在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，c，若BA·BC＝20，b＝7，则△ABC的内切圆的半径为()A.B.C．2D．3解析：因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝.因为BA·BC＝accosB＝20，所以ac＝40.所以S△ABC＝acsinB＝10.由余弦定理得cosB＝＝＝，所以a＋c＝13，设△ABC的内切圆的半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r＝10r，所以10＝10r，解得r＝.答案：A7．江岸边有一炮台高30m，江中有两艘船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两艘船与炮台底部连线成30°角，则两艘船相距________m.解析：由题意画示意图，如图所示，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝10(m)．答案：108．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船行驶的速度是每小时________海里．解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案：109．(2020·福州模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．解析：因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝＝＝.答案：10．如图所示，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？...
