第七章第7节立体几何中的向量方法第二课时[基础训练组]1．(导学号14577717)已知四棱锥S－ABCD的底面为平行四边形，SD⊥底面ABCD，SD＝1，AB＝2，AD＝1，∠DAB＝60°，M、N分别为SB、SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD、AB相交于点P、Q.若AQ＝AB，求二面角M－PQ－B的平面角大小．()A．60°B．30°C．45°D．75°解析：A[在△ABCD中，设AB＝2AD＝4，∠DCB＝60°，所以由余弦定理求得BD＝，有AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD，6分以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，且A(1,0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，M，又AQ＝AB，则Q.设平面MNPQ的法向量为n＝(x，y，z)，由，得n＝(0，－，1),易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，则cos〈m，n〉＝＝，所以二面角M－PQ－B为60°.]2．(导学号14577718)(2018·秦皇岛市模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：C[以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)．1所以BE＝(0，－1,1)，CD1＝(0，－1,2)，所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.]3．(导学号14577719)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.B.C.D.解析：A[ AB＝1，AC＝2，BC＝，AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. 三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A(0,1,0)，C(，0,0)．设B1(0,0，a)，则C1(，0，a)，∴D，E，∴DE＝，平面BB1C1C的法向量BA＝(0,1,0)．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α，则sinα＝|cos〈DF，BA〉|＝，∴α＝.]4．(导学号14577720)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B－AC－M的余弦值为()A.B.C.D.解析：A[ BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.2以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，∴AC＝(2,1,0)，AM＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量AP＝(0,0,2)，∴cos〈n，AP〉＝＝＝.∴二面角B－AC－M的余弦值为.]5．(导学号14577721)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为()A.B.C．2D.解析：A[如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)．由，得，令z＝－1，则m＝(a,1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，解得a＝，所以AD＝.故选A.]36．(导学号14577722)(2018·郑州市模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，∴A1B＝(0,2，－1)，A1C1＝(－1,2,0)设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，D1C1＝(0,2,0)，设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.答案：7．(导学号14577723)如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角为________.解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)．则CA＝(2a,0,0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝.∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.答案：30°8．(导学号14577724)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到...
