第6节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义与标准方程1,2,14双曲线的几何性质4,7,8,12,15直线和双曲线位置关系9,10综合应用问题3,5,6,11,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(B)(A)1(B)17(C)1或17(D)以上答案均不对解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.2.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是(A)(A)(-3,-2)(B)(-∞,-3)(C)(-∞,-3)∪(-2,+∞)(D)(-2,+∞)解析:由题意得解得-30矛盾,应排除;再看A中双曲线得a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.故选C.4.(2015甘肃酒泉实验中学月考)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:根据双曲线的对称性可知A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y),则-=1,kPA·kPB=·====,e==.5.(2015甘肃张掖4月模拟)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上且·=0,则点M到x轴的距离为(D)(A)(B)(C)(D)解析:双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).因为MF1⊥MF2,所以点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,故由解得|y|=,所以点M到x轴的距离为.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为(D)(A)2(B)4(C)2(D)4解析:由余弦定理得|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2-2|MF2|·|F1F2|·cos∠MF2F1=()2+82-2××8×cos=50.所以|MF1|=5.由双曲线定义可知,实轴长2a=||MF1|-|MF2||=4.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(C)(A)3x±4y=0(B)3x±5y=0(C)4x±3y=0(D)5x±4y=0解析:如图,由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c,又|PF2|=|F1F2|,所以A为PF1的中点,由a2+b2=c2,得|PF1|=4b,由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,则4b-2c=2a,所以2b=c+a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,所以4b2-4ab+a2=a2+b23b2=4ab,所以=,所以渐近线方程为y=±x.8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为5,则m的值为.解析:因为c2=m+m+4=2m+4,所以e2===5,所以3m-4=0,所以m=.答案:9.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.答案:±110.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为.解析:双曲线的左焦点为F1(-2,0),将直线AB方程:y=(x+2)代入双曲线方程,得8x2-4x-13=0.显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=×=3.答案:3能力提升练(时间:15分钟)11.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF1|-|AF1|+|AF2|-|BF2|=(|BF1|-|BF2|)+(|AF2|-|AF1|)=4a,所以|BF2|=4a,|BF1|=6a,在△BF1F2中,∠F1BF2=60°,由余弦定理得,|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|2=2|BF1|·|BF2|·cos60°,所以36a2+16a2-4c2=24a2,所以7a2=c2,因为e>1,所以e==.12.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(A)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:设双曲线的右焦点为F,则F(c,0)(其中c=),且c=|OF|=r=4,不妨将直线x=a代入双曲线的一条渐近线方程y=x,得y=b,则A(...
