课时限时检测(二十二)简单的三角恒等变换(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难半角公式及其应用1,7,83,4asinx＋bcosx的应用96综合应用2,10,115,12一、选择题(每小题5分，共30分)1．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有()A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b【解析】a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵sin24°＜sin25°＜sin26°，∴a＜c＜b.【答案】D2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于()A.B．－C.D．－【解析】f(x)＝cos2－sin2＝－sin2x，∴f＝－sin＝－.【答案】B3．(2012·山东高考)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝()A.B.C.D.【解析】∵θ∈，∴2θ∈.∴cos2θ＝－＝－，∴sinθ＝＝.【答案】D4．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()A.B.C．±D.【解析】∵sin76°＝cos14°＝2cos27°－1＝m，∴cos27°＝，∴cos7°＝.【答案】D5．(2014·聊城模拟)已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为()A.B.C.D．－1【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.【答案】B6．(2014·安徽省示范高中第一次联考)若sin(π－α)＝－，且α∈，则sin＝()A．－B．－C.D.【解析】sin(π－α)＝sinα＝－，又α∈，1∴cosα＝－＝－＝－.由cosα＝2cos2－1，∈得cos＝－＝－＝－，所以sin＝cos＝－.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f(x)＝sin2的最小正周期是________．【解析】∵f(x)＝sin2＝＝－sin4x，∴最小正周期T＝＝.【答案】8．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则tan＝________.【解析】∵α是第三角限角且sinα＝－∴cosα＝－＝－＝－∴tan＝＝－【答案】－9．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.【解析】y＝sinx－2cosx＝，设＝cosα，＝sinα，则y＝(sinxcosα－cosxsinα)＝sin(x－α)．∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴即cosθ＝－.【答案】－三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)化简：(1)·.(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.【解】(1)原式＝·＝·＝·＝2.(2)法一：(从“角”入手，复角化单角)：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.法二(从“名”入手，异名化同名)：原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β＝cos2β－cos2β2＝－cos2β＝.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)：原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2α·cos2β＝＋＝.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)：原式＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－cos2αcos2β＝cos2(α＋β)＋sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.11．(12分)(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．【解】(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝.12．(13分)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；(2)求函数F(x)＝f(x)f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．【解】(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)且cosx≠0，得tanx＝.∴＝＝＝.(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，∴F(x)＝cos2x＋sin2x＋1，∴F(x)＝sin＋1.∴当sin＝1时，F(x)max＝＋1.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ解得，函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z.)3
