(二)立体几何1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面．(1)求证：平面SBD⊥平面SAC；(2)若SA与平面SCD所成的角为30°，求SB的长．(1)证明连接AC，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又因为SB⊥底面ABCD，所以AC⊥SB，因为BD∩SB＝B，BD，SB⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.又因为AC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面SBD.(2)解将四棱锥补形成正四棱柱ABCD－A′SC′D′，连接A′D，作AE⊥A′D，垂足为点E，连接SE.由SA′∥CD可知，平面SCD即为平面SCDA′.因为CD⊥侧面ADD′A′，AE⊂侧面ADD′A′，所以CD⊥AE，又因为AE⊥A′D，A′D∩CD＝D，A′D，CD⊂平面SCD，所以AE⊥平面SCD，于是∠ASE即为SA与平面SCD所成的角．设SB＝x，在Rt△ABS中，SA＝，在Rt△DAA′中，AE＝.因为∠ASE＝30°，所以＝，解得x＝1，即SB的长为1.2．(2018·浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE中，CD∥AE，∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，CD＝2EA＝2，AB＝AC＝2，BC＝2，F为BD的中点．(1)证明：EF∥平面ABC；(2)求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．(1)证明取BC的中点G，连接FG，AG， F为BD的中点，CD＝2EA，CD∥AE，∴FG＝CD＝EA，且FG∥AE，∴四边形AGFE是平行四边形，∴EF∥AG， EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)解 ∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，且平面EACD∩平面ABC＝AC，EA⊂平面EACD，∴EA⊥平面ABC，由(1)知FG∥AE，∴FG⊥平面ABC，又 AB＝AC，G为BC的中点，∴AG⊥BC，如图，以G为坐标原点，分别以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0，－，2)，E(1,0,1)，∴AB＝(－1，，0)，BD＝(0，－2，2)，BE＝(1，－，1)，设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得n＝(0,1，)，∴直线AB与平面BDE所成角的正弦值为＝.3．在三棱锥D—ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F.(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值．(1)证明由题意知DE⊥平面ABC，所以AB⊥DE，又AB⊥DF，且DE∩DF＝D，所以AB⊥平面DEF，又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.(2)解方法一由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，所以E是△ABC的外心．又AB⊥BC，所以E为AC的中点，如图所示．过E作EH⊥DF于H，连接BH，则由(1)知EH⊥平面DAB，所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．由AC＝4，∠BAC＝60°，得AB＝AE＝BE＝2，所以EF＝，又DE＝2，所以DF＝＝，EH＝，所以sin∠EBH＝＝.方法二如图建系，则A(0，－2，0)，D(0,0,2)，B(，－1,0)，所以DA＝(0，－2，－2)，DB＝(，－1，－2)．设平面DAB的法向量为n＝(x，y，z)，由得取z＝1，得n＝.设EB与n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以BE与平面DAB所成角的正弦值为.4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．(1)求证：CD⊥BE；(2)求线段BH的长度；(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．(1)证明 BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又CD⊥DE，BH∩DE＝H，BH，DE⊂平面DBE，∴CD⊥平面DBE，∴CD⊥BE.(2)解方法一设BH＝h，EH＝k，过F作FG垂直ED于点G， 线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得即解得∴线段BH的长度为2.方法二如图，过点E作ER∥DC，过点E作ES⊥平面EFCD，以点E为坐标原点，分别以ER，ED，ES所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设点B(0，y，z)(y>0，z>0)，由于F(2,2,0)，BE＝，BF＝3，∴解得于是B(0,1,2)，∴线段BH的长度为2.(3)解方法一延长BA交EF于点M， AE∶BF＝MA∶MB＝1∶3，∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，∴点A到平面EFCD的距离为，而AF＝，故直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为.方法二由(2)方法二知FB＝(－2，－1,2)，故EA＝FB＝，FA＝FE＋EA＝，设平面EFCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，则sinθ＝＝.5.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．(1)求证：CM⊥EM；(2)求CM与平...
