高难拉分攻坚特训(七)1．设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点A，直线FA恰与曲线y＝(k>0)相切于点A，FA交C的准线于点B，则等于()A.B.C.D.答案B解析由解得由y＝，得y′＝－，所以kFA＝＝－，化简得k＝，所以xA＝＝，＝＝＝，故选B.2．已知三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案解析解法一：∵△BCD为等腰直角三角形，∴其外接圆圆心为BC中点E，∴外接球的球心在过E点且垂直于平面BCD的直线与AD垂直平分线的交点处．以E为原点，DE所在直线为x轴，过点E且垂直于平面BCD的直线为y轴建立平面直角坐标系，则E(0，0)，D(1,0)，A，∴设AD中点为F，则F，∴kAD＝－，∴直线AD的中垂线方程为y－＝，即y＝x＋，∴R＝＝.∴S＝4πR2＝.解法二：△BCD为等腰直角三角形，E是其外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF＝＝，∴AF＝＝.设球心O到平面BCD的距离为h，则1＋h2＝＋2，∴h＝，R＝＝，∴S球＝4πR2＝.3．已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1,0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．解(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2，取F关于y轴的对称点F′，连接F′P，所以|PF′|＝2|OS|，故|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4，所以点P的轨迹是以F′，F分别为左、右焦点，且长轴长为4的椭圆，则曲线C方程为＋＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q，设Q(0，m)，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立，得消去y，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0，则Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝，由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故＋＝＋＝＝0，即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意．综上，存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO.4．已知函数f(x)＝.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤2恒成立，求实数a的取值范围．解(1)由题意知，f′(x)＝－，当a<2时，由f′(x)>0得a
2，所以f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上单调递减，在(a,2)上单调递增；当a＝2时，f(x)在R上单调递减；当a>2时，由f′(x)>0，得2a，所以f(x)在(2，a)上单调递增，在(－∞，2)，(a，＋∞)上单调递减．(2)由f(x)≤2在[0，＋∞)上恒成立，得x2－ax＋a≤2ex在[0，＋∞)上恒成立，令φ(x)＝x2－ax＋a－2ex(x∈[0，＋∞))，则φ′(x)＝2x－a－2ex，令p(x)＝2x－a－2ex(x∈[0，＋∞))，则p′(x)＝2－2ex≤0，所以p(x)在[0，＋∞)上为减函数，p(x)≤p(0)＝－a－2.当a≥－2时，p(x)≤0，即φ′(x)≤0，φ(x)在[0，＋∞)上为减函数，则φ(x)≤φ(0)，所以φ(0)≤0，即a－2≤0，得－2≤a≤2.当a<－2时，令g(x)＝3x－2ex，当x>2时，g′(x)＝3－2ex<0，所以g(x)0，所以p(x)＝2x－a－2ex在[0，＋∞)上有唯一零点，设为m，在(0，m)上，p(x)>0，即φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(m，＋∞)上，p(x)<0，即φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)的最大值为φ(m)＝m2－am＋a－2em，所以φ(m)＝m2－am＋a－2em≤0恒成立，由p(m)＝0，得a＝2m－2em，则φ(m)＝(m－2)(2em－m)，令h(x)＝2ex－x(x>0)，则h′(x)＝2ex－1>0，所以h(x)>h(0)＝2>0，所以2em－m>0，所以由φ(m)＝(m－2)(2em－m)≤0得0
