第7讲立体几何中的向量方法1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.B.C.D.解析：选B.以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.所以AA1＝(0，0，1)，B1C＝(0，－1，－1)，所以cos〈AA1，B1C〉＝＝＝－，所以〈AA1，B1C〉＝，所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B.2．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.解析：选D.如图所示，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则G(1，λ，1)，E，D1(0，0，1)，F，GE＝(0，－λ，－)，EF＝(0，1，0)，ED1＝.过点G向平面D1EF作垂线，垂足为H，由于点H在平面D1EF内，故存在实数x，y，使GH＝GE＋xEF＋yED1＝，由于GH⊥EF，GH⊥ED1，所以解得故GH＝，所以|GH|＝，即点G到平面D1EF的距离是.3．(2019·湖南五市十校联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．解析：设等边三角形ABC的边长为2.取BC的中点O，连接OA、OD，因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，0，)，B(0，－1，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)．所以AB＝(0，－1，－)，CD＝(，－1，0)，所以cos〈AB，CD〉＝＝＝，所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.答案：4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1，0，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．所以A1C1＝(－1，2，0)，BC1＝(－1，0，1)，D1C1＝(0，2，0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2，1，2)．又设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝.答案：5．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F(，1，0)．(1)因为AD1＝(0，1，－1)，EF＝，所以cos〈AD1，EF〉＝＝，即AD1与EF所成的角为60°.(2)FA＝，由图可得，BA＝(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BA，FA〉|＝＝，所以cosθ＝.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6.(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角DACB的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，1)．由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故AD＝(－1，0，1)，AC＝(－2，0，0)，AE＝.设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n＝.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m＝(0，－1，)，则cos〈n，m〉＝＝，所以二面角DAEC的余弦值为.7.(2017·高考山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB...
