高考数学复习解决方案 真题与模拟单元重组卷 重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题试题 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

重组十四大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·江西临川统测](本小题满分15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值．解(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.(3分)结合a2＝b2＋c2，解得b2＝16.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(6分)(2)由得x2－a2b2＝0.(8分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝，(10分)由AB，F1F2互相平分且A，B，F1，F2四点共圆，得AF2⊥BF2. F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，∴F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0，即x1x2＝－8，∴＝－8，(13分)结合b2＋9＝a2，得a2＝12，∴离心率e＝.(15分)2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M(1,0)，且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．(1)求C1的标准方程；(2)当四边形ACBD的面积为时，求直线l1的斜率k(k>0)．解(1)由题意得2a＝4，∴a＝2.(1分) ＝，∴c＝1，(3分)∴b＝，(4分)∴椭圆C1的标准方程为＋＝1.(5分)(2)直线AB：y＝k(x－1)，则直线CD：y＝－(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.(7分)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则(8分)∴|AB|＝|x1－x2|＝.(10分) 圆心(0,0)到直线CD：x＋ky－1＝0的距离d＝，又＋d2＝4，∴|CD|＝2，(12分) AB⊥CD，∴S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝，(13分)由＝，解得k＝1或k＝－1，(14分)由k>0，得k＝1.(15分)3．[2016·合肥质检](本小题满分20分)设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设PM＝λPA＋μPB，试判断＋是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解(1)由题知A(1,1)，B(4，－2)，设点P的坐标为(xP，yP)，切线l1：y－1＝k(x－1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k＝，(5分)即l1：y＝x＋，同理，l2：y＝－x－1.(7分)联立l1，l2的方程，可解得即点P的坐标为.(10分)(2)设M(y，y0)，且－2≤y0≤1.由PM＝λPA＋μPB，得＝λ＋μ，(14分)即解得(18分)则＋＝＋＝1，即＋为定值1.(20分)4．[2017·成都月考](本小题满分20分)已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)直线l经过F2，与抛物线y2＝4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|.解(1)由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，得到a＝2，焦距2c＝2，则短半轴长b＝，则轨迹C的方程为＋＝1.(6分)(2)当直线l与x轴垂直时，可取B1，B2，又F1(－1,0)，此时B1F1·B2F1≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．(8分)当直线l不与x轴垂直时，设l：y＝k(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(10分)因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，(12分)因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以B1F1·B2F1＝0，又F1(－1,0)，所以(－1－x1)(－1－x2)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，解得k2＝，(15分)由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，(17分)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3＋x4＝＝2＋，x3x4＝1，(19分)所以|A1A2|＝x3＋x4＋p＝2＋＋2＝.(20分)5．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，...