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高考数学复习点拨 例谈充要条件的证明问题VIP免费

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例谈充要条件的证明问题充要条件是本章的一个重要内容,也是高考及其他考试的一个热点。证明是的充要条件,,即要证明命题“”为真,又要证明命题“”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性。以下两例,供参考。例1已知数列的前项和为,是不等于0和1的常数),求证数列为等比数列的充要条件是。分析:证明充分性就是证明条件能推出结论,证明必要性则是证明结论能推出条件。证明:(1)先证充分性。∵,∴。∵,∴,又∵,,∴。故数列是公比为的等比数列。(2)再证必要性∵数列为等比数列,∴。∵,用心爱心专心∴,。∴。综上所述,数列为等比数列的充要条件是。评注:证明充要条件,首先要找到条件和结论,如本题“证明数列为等比数列的充要条件是”说的很明白,条件是,结论是数列为等比数列。充分性和必要性要逐一证明,并有必要的文字说明。例2已知,求证:的充要条件是。分析:本题中是大前提,证明充要条件,即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立。证明:先证必要性:∵,即,∴,∴必要性成立。再证充分性:∵,即,∴。又∵,∴且,从而,∴,即,∴充分性也成立。故时,的充要条件是。评注:证明充要条件时,要分清充分性是证明怎样的一个式子成立,必要性又是证明怎样的一个式子成立。用心爱心专心例3已知方程,求使方程有两个大于1的根的充要条件。分析:求充要条件,则推理的各步应是可逆的,是有实根的充要条件。解析:设方程的两根为、,使、都大于1的充要条件是,即。由韦达定理得,解得。故所求的充要条件为。评注:“,,”,但反过来,“,,”,例如取,有,且,但没有保证两个根都大于1,仅是两根都大于1的必要条件,而不是充分条件。用心爱心专心

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