导数的概念及运算1．导数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim＝lim，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．1．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选．2．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于半径，四个选项中，只有，满足题意；对于选项：与联立，可得，此时无解；对于选项：与联立，可得，此时解得；直线与曲线和圆都相切，方程为，故选．3．（2019•新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，，曲线在点处的切线方程为，即．故选．4．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选．5．（2018•全国）若函数图象上点，（1）处的切线平行于直线，则A．B．0C．D．1【答案】D【解析】函数的导数为，可得点，（1）处的切线斜率为，由点，（1）处的切线平行于直线，可得，解得，故选．6．（2018•新课标Ⅰ）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，若为奇函数，，．所以：可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：．故选．7．（2016•山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，当时，，满足条件；当时，恒成立，不满足条件；当时，恒成立，不满足条件；当时，恒成立，不满足条件；故选．8．（2016•四川）设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，，，当时，，当时，，的斜率，的斜率，与垂直，且，，即．直线，．取分别得到，，．联立两直线方程可得交点的横坐标为，．函数在上为减函数，且，，则，．的面积的取值范围是．故选．9．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则__________．【答案】1【解析】函数，，若（1），，则，故答案为：1．10．（2019•全国）若函数，，则__________．【答案】3【解析】由，得，，，．故答案为：3．11．（2018•天津）已知函数，为的导函数，则（1）的值为__________．【答案】e【解析】函数，则；（1）．故答案为：．12．（2016•天津）已知函数，为的导函数，则的值为__________．【答案】3【解析】，，．故答案为：3．13．（2020•上...
