天津市南开中学2015届高考数学空间向量练习3（含解析）1.（2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面分别为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．(Ⅰ)如图连接BD． M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(32，32，6)，N(3，0，6)，C(3，3，0)．设Q(x，y，z)，则(33)(3326)CQxyzCP�，，，，，． (3326)CQCP�，，，∴(333326)Q，，．由0OQCPOQCP�，得：13．即：2326(2)33Q，，．对于平面AMN：设其法向量为()nabc，，． )6,0,3(),6,23,23(ANAM．则．∴n（-)1,6,2同理对于平面MNQ得其法向量为)225,3,1(v．记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，则8243223cos．∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为.82．2.（2013江西）如图，四棱锥中，平面，为的中点，1GCFEADPB为的中点，，,，连接并延长交于.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．在中，依题意有，所以且，，又，所以与为全等的正三角形．易知，所以，是中点．又是中点，所以，又平面，所以平面．接下来证明平面就很容易了．解：（Ⅰ）依审题要津，平面，所以，又，，所以平面．解：（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，为坐标原点，则，，．，，，设平面的法向量，则即解得所以．设平面的法向量，则即解得所以．．所以平面与平面的夹角的余弦值为．解：（1）在中，因为是的中点，所以,故，因为,所以,从而有，故,又因为所以∥。又平面，所以故平面。（1）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则,（2），故2yxzGCFEBPDA图1设平面的法向量，则，解得，即。设平面的法向量，则，解得，即。从而平面与平面的夹角的余弦值为3.（2012辽宁）如图，直三棱柱，，，点分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，求的值．解：（1）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（2）以A为坐标原点，分别以直线,,'ABACAA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系-Oxyz，如图所示设'=1,AA则==ABAC，于是0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1ABCABC，所以1,0,,,,12222MN，设111=,,mxyz�是平面'AMN的法向量，由'=0,=0mAMmMN��得11111-=0221+=022xzyz，可取=1,-1,m�设222=,,nxyz是平面MNC的法向量，3MNC'B'BACA'由=0,=0nNCnMN����得22222-+-=0221+=022xyzyz，可取=-3,-1,n因为'--AMNC为直二面角，所以2=0,-3+-1-1+=0mn�即，解得=24.（2012北京）如图(1)，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图(2)．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．(1)ABCDE(2)MDECBA1【审题要津】要证平面，只需在平面内找到两条相交直线都与垂直，显然有，再通过证明平面得到，从而问题得证．解：（Ⅰ）因为，所以平面，又因为平面，所以，又，所以平面．【审题要津】若想通过找出在面内的射影得出线面成角，则难度很大，故考虑引入坐标系来计算．解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则，所以，．设平面法向量为，则所以所以不妨取，所以．又因为，，设与平面所成的角为，则与所夹角的锐角为，所以，故与平面所成角为．【审题要津】假设存在点，由点在线段上，则知，这是最重要的限制条件，这是将来4判断“是否存在”的依据．解：（Ⅲ）设线段上存在点满足题设，设点坐标为，则，．设平面的法向量为，则所以不妨取，所以，假设平面与平面垂直，则，所以，，，与矛盾，所以不存在线段上的点，使平面与平面垂直．解：（1）CDDE，1AEDEDE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1AC...
