课时达标检测(五十八)离散型随机变量的分布列、均值与方差一、全员必做题1．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝.所以随机变量X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.2．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)由已知得，P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为X1234PE(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋＝＝.3．国庆节期间，某旅行社组织了14人参加“国家旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数3254根据上表信息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列及E(X)．解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，事件A包含“3人分别答对2题”，“3人分别答对1,2,3题”和“3人分别答对0,3,3题”．则P(A)＝＝＝，即3人答对题目个数之和为6的概率为.(2)依题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.则P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝.从而X的分布列为X0123456PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝＝＝.1．抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体，记上底面上的数字分别为x，y.若[a]表示a的整数部分，如：[2.6]＝2，设ξ为随机变量，且ξ＝.(1)求P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其均值E(ξ)．解：(1)依题意，实数对(x，y)共有36种情况，使ξ＝＝0的实数对(x，y)有以下15种情况：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，所以P(ξ＝0)＝＝.(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.ξ＝1的情况有以下18种：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，所以P(ξ＝1)＝＝.ξ＝2的情况有以下3种：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(ξ＝2)＝＝.所以ξ的分布列为ξ012P均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.2．某商场中的20件不同的商品中有是进口商品，其余的是国产商品．在进口商品中有是高端商品，在国产商品中有是高端商品．(1)从该批商品中随机抽取3件，求恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(2)若销售1件国产高端商品获利80元，1件国产非高端商品获利50元，当销售该批国产商品3件时，获利为ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)．解：(1)设事件B为“从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”．因为这20件商品中，进口高端商品有20××＝5(件)，国产高端商品有20××＝3(件)．所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝，即从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是.(2)由于本批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，故销售该批国产商品3件时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P(ξ＝180)＝＝，P(ξ＝210)＝＝＝...
