第3课时数系的扩充与复数的引入考纲索引1.复数的有关概念.2.复数的四则运算.课标要求1.理解复数的基本概念.2.理解得数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的概念.形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模.向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.2.复数的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点平面向量.基础自测指点迷津◆一种转化复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质.◆两个轴实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.◆四种结果i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.考点透析考向一复数的有关概念【方法总结】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部、虚部满足的方程即可.变式训练1.(2014·湖北黄冈模拟)若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z的值为().A.-3+iB.-3-iC.3+iD.3-i考向二复数的几何意义【方法总结】除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意:(1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;(2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.变式训练考向三复数的代数运算【方法总结】(1)复数的代数运算技巧.复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类,不含i的看作另一类,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.(2)几个常用结论.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i;(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.变式训练经典考题典例(2014·广东)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);④z1*z2=z2*z1.则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4真题体验参考答案与解析知识梳理基础自测1.D2.A3.B4.25.(-1,1)考点透析变式训练经典考题真题体验
