第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A级基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是()A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.答案：D2．方程(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，且x＝et＋e－t≥2＝2，所以表示双曲线的右支．答案：B3．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是()A．t1＋t2B．t1－t2C.D.解析：依题M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)所以k＝＝＝t1＋t2.答案：A4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.D．2解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.答案：B5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0，1)D．[0，1)解析：将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.答案：D1二、填空题6．双曲线的顶点坐标为________．解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．答案：(±，0)7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或68．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．解析：化为普通方程为y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化为极坐标方程为ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案：ρcos2θ－sinθ＝0三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN＝＝.又设MN的中点为P(x，y)，则所以kAP＝.由kMN＝kAP知t1·t2＝－，又则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．B级能力提升1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5，0)，F2(5，0)，2设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝＝secθ，y＝＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．答案：A2．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值．d(α)＝＝.当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.3
