课下层级训练(二十四)平面向量的概念及其线性运算[A级基础强化训练]1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②A[根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．]2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB．ADC．BCD．BCA[由题意得EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.]3．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是()A．a＝bB．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同D[表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可．]4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|A[方法一 |a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在□ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC．若AB＝a，AC＝b，则PQ＝()A．a＋bB．－a＋bC．a－bD．－a－bA[PQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.]6．(2019·河北邯郸月考)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________.[由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.]7．(2019·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝__________.3[由题设可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝AB＋AC，则x＝，y＝，故＝3.]8．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是__________.[由题意可求得AD＝1，CD＝，∴AB＝2DC， 点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝， 0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.]9．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．(1)证明由已知得，AB＝OB－OA＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，BC＝OC－OB＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故BC＝－2AB，又BC与AB有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)解AC＝AB＋BC＝3a－2b，CD＝2a－kb.因为A，C，D三点共线，所以AC＝λCD，即3a－2b＝2λa－kλb，所以所以综上，k的值为.[B级能力提升训练]11．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．B．C．1D．A[DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.]12．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝()A．B．C．D．B[如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.]13．(2018·福建泉州模拟)已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足AD＝AB－CA，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为__________.4[由AD＝AB－CA，得5AD＝AB＋4AC，所以AD－AB＝4(AC－AD)，即BD＝4DC.所以点D在边BC上，且|BD|＝4|DC|，所以S△ABD＝4S△ACD＝4.]14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是__________.(1，＋∞)[设OC＝mOD，则m>1，因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，即OD＝OA＋OB...
