题组层级快练(六十七)1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.答案D解析先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一：联立抛物线方程化简，得4y2－12y－9＝0.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二：联立方程，得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，原点到直线AB的距离为h＝＝.因此S△OAB＝|AB|·h＝.另解：|AB|＝＝＝12，S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝.2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，OA＝(x0，y0)，AF＝(1－x0，－y0)，OA·AF＝x0(1－x0)－y＝－4. y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.3．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D．2答案D解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①由⇒ MA·MB＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④式，解得k＝2.故选D.4.(2015·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝|BF|，且|AF|＝4＋2，则p的值为()A．1B．2C.D．3答案B解析过B作准线的垂线BB′，则|BB′|＝|BF|，由|BC|＝|BF|，得直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)，由|AF|＝4＋2，得x0－＝|AF|＝2＋2.∴(2＋2)＋p＝4＋2，∴p＝2.5．(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：y＝x2－2，过原点的动直线l交抛物线C于A，B两点，P是AB的中点，设动点P(x，y)，则4x－y的最大值是()A．2B．－2C．4D．－4答案A解析设直线l的方程为y＝kx，与抛物线C的方程y＝x2－2联立，消去y，得x2－kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，所以x＝，y＝，所以4x－y＝2k－＝－(k－2)2＋2.故当k＝2时，4x－y取最大值2.6.(2015·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()A.B.C.D．2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*)y1，y2是方程①的两个根，所以有又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④解由②③④组成的方程组，得k＝.把k＝代入(*)式检验，不等式成立．所以k＝，故选C.7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．9B．6C．4D．3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A，B，C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∴FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FC＝(x3－1，y3)． FA＋FB＋FC＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3.∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝＋＋＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.8．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．答案32解析设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值为32.9.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物C的准线相切的圆的方程．答案(1)－1(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4解析(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y...
