题组层级快练(六十七)1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A
答案D解析先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0
方法一：联立抛物线方程化简，得4y2－12y－9＝0
故|yA－yB|＝＝6
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝
方法二：联立方程，得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，原点到直线AB的距离为h＝＝
因此S△OAB＝|AB|·h＝
另解：|AB|＝＝＝12，S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝
2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，OA＝(x0，y0)，AF＝(1－x0，－y0)，OA·AF＝x0(1－x0)－y＝－4
y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2
3．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A
D．2答案D解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4
①由⇒ MA·MB＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0
