高中数学解圆锥曲线问题谨防几个陷阱专题辅导李昭平由于圆锥曲线概念多、内容多、涉及面广、综合性强，因此同学们在解题时常常出现概念性、理解性、方法性的错误，有的错误还不易被察觉。下面介绍几个容易出现的陷阱，同学们要注意防范。陷阱1：直线的斜率一定存在吗？例1在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于A、B两点。求证：“如果直线l过点T（3，0），那么”是真命题。错解：设直线l的方程为，与抛物线联立，消去x得2y令A（），B（），则而，，所以。故原命题是真命题。评析：本题涉及到直线与圆锥曲线的位置关系。由于直线的斜率可以表示直线的倾斜程度，同时又是直线倾斜角的正切值，因此引进直线的斜率作用很大。但同时也带来了一些负面影响，虽然直线的倾斜角永远存在，但经常出现直线的斜率却有存在与不存在之分，这是直线与圆锥曲线位置关系问题的一个陷阱。（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时直线l与抛物线相交于A（3，），B（3，），代入得。（2）当直线l的斜率存在时，证明过程如上。综合（1）、（2）可知，“如果直线l过点T（3，0），那么”是真命题。陷阱2：轨迹上有瑕点吗？例2在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量。求动点M的轨迹方程。错解：根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长为b=1，即椭圆的方程为。设点P坐标为（），则过点P的切线方程为＋，点A的坐标为（），点B的坐标为（0，）。由于，所以点M的坐标为（）。故点M的轨迹方程为。评析：求动点的轨迹方程是解析几何研究的两大基本问题之一，也是高考考查解析几何的重点内容和主要题型。在这种问题中，要切实理解和掌握轨迹的纯粹性（轨迹上没有不符合条件的点）和完备性（凡是符合条件的点都在轨迹上），即轨迹上既没有多余的点（瑕点）也没有遗漏的点。解题时往往以忽视轨迹的纯粹性致错居多，这是轨迹问题的一个陷阱。这里第一步求椭圆方程时，因没有考虑椭圆在第一象限的部分为曲线C，导致角θ的取值范围扩大，出现了许多瑕点。由于这一步忽视了轨迹的纯粹性，直接导致了点M的轨迹上也出现用心爱心专心116号编辑了许多瑕点。正确解法：应该添上，，。故点M的轨迹方程为（x>1，y>2）陷阱3：对字母分类讨论了吗？例3已知双曲线的渐近线方程为，两条准线的距离为，求双曲线的方程。错解：设双曲线方程为，即。于是，则。而，即，k=144。故所求的双曲线方程为。评析：这里默认k>0，而忽视k<0的情形。当k<0时，方程为，，。进一步求得。因此本题漏掉了另一个解。在处理带有字母的圆锥曲线的方程时，忽视对长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、准线等问题的分类讨论往往会出错，对此要特别注意，做到周密思考。陷阱4：直线与圆锥曲线有公共点吗？例4已知双曲线，过点A（0，1）作斜率为k的直线l交双曲线于点P1、P2，当k为何值时，线段的中点在直线上？错解：l的方程为，即。由方程组，消去y得－2kx－3=0，由题意可知。设，，则，。故当k取时，线段的中点在直线上。评析：消元后的二次方程的根的判别式=。应该考虑k能否使△>0，即直线l是否与双曲线有两个交点的问题。由△>0得，显然时△<0，时△>0。即当时，直线l与双曲线无公共点，正确答案只有。“直线与圆锥曲线的位置关系”是平面解析几何的核心内容，也是高考考查平面解析几何问题中常考常新的题目。对此，要特别注意直线与圆锥曲线有无公共点，牢记判断判别用心爱心专心116号编辑式的符号。用心爱心专心116号编辑
