第7节空间向量与线面位置关系考试要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会用向量方法证明直线、平面的位置关系；2.了解向量法求点到面的距离.知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.4.点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.[常用结论与易错提醒]1.直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，且v1∥v2，若l1，l2有公共点，则l1，l2重合；若l1，l2没有公共点，则l1∥l2.2.直线l的方向向量v与平面α内不共线的向量a，b满足v＝λa＋μb，若直线l与α无公共点，则l∥α，若直线l与α有公共点，则l⊂α.3.直线l的方向向量v与平面α的法向量u垂直，若直线l与平面α有公共点，则l⊂α，若直线l与平面α无公共点，则l∥α.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行.()(2)如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线，则这条直线与该平面平行.()(3)如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行.()(4)一条直线的方向向量有无穷多个，平面的法向量也有无穷多个.()解析(1)不正确，两直线也可能重合；(2)不正确，直线也可能在平面内；(3)不正确，直线也可能在平面内.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C.D.解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，由得∴x＝y＝z.故选C.答案C3.已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，AB＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为()A.AB⊥αB.AB⊂αC.AB与α相交但不垂直D.AB∥α解析由题意易得n＝－2AB，所以向量AB也为平面α的一个法向量，则直线AB与平面α垂直，故选A.答案A4.平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1)，则下列命题正确的是()A.α，β平行B.α，β垂直C.α，β重合D.α，β不垂直解析 平面α的法向量与平面β的法向量的数量积为u·v＝2×1＋(－2)×2＋2×1＝0，∴平面α，β垂直，故选B.答案B5.设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________.解析当v＝(3，－2，2)时，由于u·v＝0，即u⊥v，∴α⊥β；当v＝(4，－4，－10)时，由于v＝－2u≠0，∴α∥β.答案α⊥βα∥β6.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________.解析当a＝(1，1，2)时，a＝n，则l⊥α；当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l⊂α.答案l⊥αl∥α或l⊂α考点一用空间向量证平行问题【例1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.证明因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(...
