2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为()A．60B．70C．80D．90解析：易知发芽的种子数X～B(100，0.8)，所以E(X)＝100×0.8＝80.答案：C2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.B.C.D.解析：根据概率和为1，可得x＝，所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.答案：C3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A．20B．25C．30D．40解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.答案：B4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64解析：因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.答案：C5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A.B.C．2D.解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以E(X)＝2×＋3×＝.答案：D二、填空题6．已知X～B，则E(2X＋3)＝________．解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.答案：1037．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：1ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．解析：答案：0.48．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.答案：三、解答题9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：(1)一次投篮时投中次数X的均值；(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．解：(1)X的分布列为X01P0.40.6则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．故E(Y)＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解：从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3.所以P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列是：X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.B级能力提升1．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2000元B．2200元C．2400元D．2600元解析：出海的期望效益E(ξ)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．答案：B2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a2＋10b＝3，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝.答案：3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.？50.100.1？0.20(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；(2)求E(X)；(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．解：(1)由分布列的性质可知0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.故0.？5＋0.1？＝0.40.由于小数点后只有两位有效数字，故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.(3)法一由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，E(η)＝E(X)＝3.50.法二由于η＝2X－E(X)，所以η的分布列如下：η－1.50.52.54.56.58.5P0.200.100.250.100.150.20所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.3
