高中数学利用函数的单调性求参数范围专题辅导王冠中已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。例1已知在上单调递减，求实数a的取值范围。分析：令，由为减函数知应为增函数，设，则只需恒成立，所以。另一方面，，即恒成立，因，故，从而。综上所述，。评注：本题常因没有考虑对数函数的定义域而产生错误。例2已知函数。（1）若在上是增函数，求a的取值范围；（2）求在上的最大值。分析：（1）设，则恒成立，又，只需，即。（3）若，则当时，；若，则，当且仅当时，。评注：本题若没有第一小题为铺垫，第二小题的解决会显得很困难。例3已知函数在区间（0，1）上是单调递增函数。（1）求实数a的取值范围；（2）当取a最小值时，定义数列，，若，求证：；（3）在（2）的条件下，是否存在正实数p，使得，对一切整数都成立？若存在则求出的取值范围，若不存在试说明理由。分析：本题脱胎于2003年石家庄市高三复习教学质量检测题，与2002年全国高考理科压轴题类似。（1）要使在（0，1）上增函数，必须（0，1），只需，即。（2）本小题在时，由导出，容易想到数学归纳法。假设，由（1）结论可知，从而。或证用心爱心专心，当且仅当时取等号，由知（0，1）。（3）因为，假设存在正实数满足题设条件，只需恒成立，因故数列为递增数列，只需，即。评注：本题3个小题的考查目的各有侧重，第（1）小题逆向考查了函数的单调性，并为第（2）小题的解决埋下了伏笔；第（2）小题比较隐蔽地考查了数学归纳法，这是目前高考命题的一个方向，借助函数单调性或基本不等式加以证明，颇有特色；第（2）小题为存在型探索题，由，要求考生自觉地探求数列的单调性，匠心独具，令人耳目一新，掩卷沉思，使人回味无穷。用心爱心专心
