第3讲导数的简单应用1.定积分∫01❑(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-12.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B.2e2C.e2D.e223.若函数f(x)=ax3+ln(x+2)在点(-1,-a)处取得极值,则a=()A.-1B.1C.-13D.134.设函数f(x)=2(x2-x)lnx-x2+2x,则函数f(x)的单调递减区间为()A.(0,12)B.(12,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)6.若函数f(x)=cosx+2xf'(π6),则f(-π3)与f(π6)的大小关系是()A.f(-π3)=f(π6)B.f(-π3)>f(π6)C.f(-π3)
0,函数f(x)=a2x3-3ax2+2,g(x)=-3ax+3.(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间(-1,1)上的极值.13.(2018石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-alnx.(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上为单调函数,求实数a的取值范围.14.设f(x)=lnx-2ax+2a,g(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)f(x)=g'(x),已知g(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案全解全析1.C∫01❑(2x+ex)dx=(x2+ex)01=1+e1-1=e.故选C.2.D由题意,可得y'=ex,则所求切线的斜率k=e2,所求切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.∴S=12×1×e2=e22.3.Cf'(x)=3ax2+1x+2.由题意,得f'(-1)=3a+1=0.解得a=-13.故选C.4.B由题意可得,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2(2x-1)lnx+2(x2-x)·1x-2x+2=(4x-2)lnx.由f'(x)<0,可得(4x-2)lnx<0,所以{4x-2>0,lnx<0,或{4x-2<0,lnx>0.解得120,由(1-x)f'(x)>0f'(x)>0,⇒函数f(x)为增函数;当-20,由(1-x)f'(x)<0f'(x)<0,⇒函数f(x)为减函数;当10f'(x)<0,⇒函数f(x)为减函数;当x>2时,1-x<0,由(1-x)·f'(x)<0f'(x)>0,⇒函数f(x)为增函数.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.6.C依题意,得f'(x)=-sinx+2f'(π6),∴f'(π6)=-sinπ6+2f'(π6).∴f'(π6)=12.易知f'(x)=-sinx+1≥0,∴f(x)=cosx+x是R上的增函数.又-π3<π6,∴f(-π3)0,解得a>2或a<-1.9.答案π2+43解析∫-12f(x)dx=∫-11❑√1-x2dx+∫12(x2-1)dx=12π×12+(13x3-x)12=π2+43.10.答案[43,+∞)解析由题意知,f'(x)=x+2a-1x≥0在[13,2]上恒成立,即2a≥-x+1x在[13,2]上恒成立, 当x∈[13,2]时,(-x+1x)max=83,∴2a≥83,即a≥43.11.解析(1)f'(x)=ex-2ax,由已知,可得f'(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1.解得a=1,b=e-2.(2)令g(x)=f'(x)=ex-2x,则g'(x)=ex-2.令g'(x)=0,得x=ln2.故当0≤x0,g(x)在(ln2,1]上单调递增.所以g(x)min=g(ln2)=2-2ln2>0.所以f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)max=f(1)=e-1.12.解析(1)由f(x)=a2x3-3ax2+2,得f'(x)=3a2x2-6ax.当a=1时,f'(1)=-3,f(1)=0,所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是y=-3x+3.(2)令f'(x)=0,得x1=0,x2=2a.①当0<2a<1,即a>2时,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,2a)2a(2a,1)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)的极大值是f(0)=2;极小值是f(2a)=2-4a.②当2a≥1,即0
