1.1.2瞬时变化率——导数[A基础达标]1．设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：选C．因为＝＝a＋bΔx，当Δx→0时，a＋bΔx→a，所以f′(x0)＝a.2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B．C．－D．－1解析：选A．因为＝＝＝(2a＋aΔx)，当Δx→0时，2a＋aΔx→2a，所以2a＝2，所以a＝1.3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2解析：选D．因为＝＝＝，当Δx→0时，→－，所以f′(m)＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A．设切点为(x0，y0)，因为＝＝2x＋Δx.当Δx→0时，2x＋Δx→2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．5.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．(填序号)①f′(xA)>f′(xB)；②f′(xA)tanβ，即f′(xA)>f′(xB)．答案：①6．已知函数y＝f(x)在点(，3)处切线方程为y＝kx－1，则f′()＝________．解析：由点(，3)在直线y＝kx－1上得3＝k×－1，所以k＝2.1根据导数的几何意义f′()＝2.答案：27．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________．解析：由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.答案：－18．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝＝，所以＝，所以当Δx→0时，→－，所以f′(1)＝－.9．已知曲线y＝在点(1，4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于，求直线l的方程．解：＝＝－.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4.所以曲线在点(1，4)处的切线的斜率为－4.故切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，由题意有＝.所以c1＝9，c2＝－25，所以直线l的方程为：4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.[B能力提升]1．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)解析：选C．因为＝＝1－，当Δx→0时，1－→1－<1.即k<1.2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．(填序号)解析：函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，即在区间[a，b]上各点处切线的斜率k是递增的．由图知，①符合条件，注意③中f′(x)＝k为常数．答案：①3．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．解：＝＝2x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x，所以，f′(x)＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)，2因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x，又因为A是切点，所以过点A的切线斜率k＝2x0，因为所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，所以其斜率又为＝，所以2x0＝，解之得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．当切点为(1，1)时，切线斜率k1＝2x0＝2；当切点为(5，25)时，切线斜率k2＝2x0＝10.所以所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.4．(选做题)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，所以＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx→0时，→3x＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.所以f′(x0)＝3－9－.当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－＝－12.解得a＝±3.又a<0，所以a＝－3.3
