第二节函数的单调性与最值[考情展望]1.考查函数的单调性及最值的基本求法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.4.函数的单调性和其它知识相结合考查求函数的最值、比较大小、解不等式等相关问题．一、增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(2)＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．二、单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．求函数单调区间的两个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值函数最值存在的两条定论1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．1．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【解析】二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.【答案】C2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝3－xB．y＝C．y＝－x2＋4D．y＝|x|【解析】结合函数的图象易知选D.【答案】D3．函数y＝(2k＋1)x＋b在x∈R上是减函数，则k的取值范围是()A．k＞B．k＜C．k＞－D．k＜－【解析】由2k＋1＜0得k＜－，故选D.【答案】D4．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.【解析】f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.【答案】[1,3]85．(2013·重庆高考)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.C．3D.【解析】＝＝＝，由于－6≤a≤3，∴当a＝－时，有最大值.【答案】B6．(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】C考向一[013]函数单调性的判定判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．【思路点拨】借助单调性的定义或导数法证明．【尝试解答】方法一：(定义法)设x1，x2是任意两个正数，且0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，又x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(0，]上是减函数；当≤x1＜x2时，x1x2＞a，又x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．方法二(导数法)： f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－.由f′(x)＞0得1－＞0，即x2＞a，解得x＞.由f′(x)＜0得1－＜0，即x2＜a，解得0＜x＜.所以f(x)在(0，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．规律方法1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：,1结合定义基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断证明；,2可导函数则可以利用导数证明.考向二[014]图象法求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)...
