向量及应用温州三中陈子月一、设计立意及思路平面向量在新教材中独立成章，日显重要，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重性”，将数和形有机地结合起来，成为中学数学知识网络的一个交汇点。因此以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题，有效沟通知识间的横向联系，促成知识网络的构建，培养学生的综合能力和数学素养。二、高考考点回顾2004年全国高考数学试题共27套，每套试题（除旧教材外）对平面向量的考查题型多数以选择题、填空题出现，解答题在2003和2004出现，分值由历年的5～12分增加到5～17分。在高考试题中，对于平面向量的考查主要在三个方面：1、主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。如2004年全国高考（山东、山西、河南、河北、江西、安徽卷）理科数学第3题、文科数学第3题，2004年全国高考（甘肃、贵州、青海、宁夏、新疆）理科第14题、文科第15题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题、文科第19题等；2、考查以向量为工具，利用向量的坐标表示、线性运算和数量积等相关知识解决向量、非向量问题中所涉及的长度、角度、垂直、平行（共线）问题。如：2004年全国高考（四川、云南、吉林、黑龙江）理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题，2004年湖南理科第19题（立体几何题）可通过建立坐标系利用向量的坐标运算等知识解决，2004年广东高考第22题（解析几何题）可借助向量平行（共线）的充要条件进行求解等。3、和其他知识整合，在知识的交汇点设计试题，与函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识结合。如2002年全国卷出现了和数列结合的题，2004年福建高考第17题，文史第17题与三角函数结合，2004年辽宁高考第6题、第19题与解析几何结合等。三、基础知识梳理1、已知＝（5，4），＝（3，2），则与2－3平行的单位向量为________;（）【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。关键指出与一个非零向量共线的单位向量有两个。2、若非零向量和满足|+|=|－|，则与所成角的大小________________;（2001.上海.春招.8）【点拨】将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。3、已知向量＝（1，2），||＝且垂直，求与的夹角。【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关用心爱心专心系。通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。四、例题的讲解1、平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合例1：已知平面向量。（1）若存在实数k和t，使得向量，，且，试求函数关系式k=f(t)；（2）根据（1）的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。【思路导引】①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1） [].（）＝0即：又 ∴||=2,||=1,.=0代入上式得－4k+t(t2-3)=0又当t=0时，k＝0，这时＝0（不合）∴k=(t≠0，f∈k)(2) k=，令，得t>0或t<－1；令，得－1
