1.2.3导数的四则运算法则[A基础达标]1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：选D.y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，所以y′|x＝1＝4.2．已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，则tanx＝()A．－3B．3C．1D．－1解析：选B.由f(x)＝sinx－cosx，可得f′(x)＝cosx＋sinx.又f′(x)＝2f(x)，所以cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得3cosx＝sinx，所以tanx＝＝3.故选B.3．函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝()A．aB．±aC．－aD．a2解析：选B.y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a.4．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0D．x－4y－5＝0解析：选B.y′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()A．－3B．2e1C．D．解析：选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝.6．f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．解析：因为f′(x)＝8x＋4a，f′(2)＝20，即16＋4a＝20.所以a＝1.答案：17．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________．解析：因为f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝(2x－1)′＝，所以f′(2)＝.答案：8．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－29．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x;(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝cosx·sin3x.解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝＝.2(3)y′＝＝＝.(4)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x.10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解：因为曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，所以a＋b＋c＝1.①因为y′＝2ax＋b，所以4a＋b＝1.②又因为曲线过点Q(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.[B能力提升]11．已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t＝3s时物体的瞬时速度为________．解析：因为s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，所以s′(t)＝－＋2·＋4t，所以v＝s′|t＝3＝－＋＋12＝，即物体在t＝3s时的瞬时速度为m/s.答案：m/s12．已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析：因为y＝x＋lnx，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2.所以曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．3由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案：813．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解：因为直线l过原点，所以直线l的斜率k＝(x0≠0)，因为点(x0，y0)在曲线C上，所以y0＝x－3x＋2x0，所以＝x－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，所以k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，又k＝，所以3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，整理得2x－3x0＝0，因为x0≠0，所以x0＝，此时，y0＝－，k＝－，所以直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－)．14．(选做题)已知函数f(x)＝ex(cosx－sinx)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，证明：数列{f(xn)}为等比数列．证明：f′(x)＝[ex(cosx－sinx)]′＝ex(cosx－sinx)＋ex(－sinx－cosx)＝－2exsinx，因为f′(x)＝0，即－2exsinx＝0，又x为正数，解得x＝nπ，n为正整数，从而xn＝nπ，n＝1，2，3，….所以f(xn)＝enπ(cosnπ－sinnπ)＝(－1)nenπ，f(xn＋1)＝(－1)n＋1e(n＋1)π，4则＝＝－eπ.所以数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝－eπ，公比为q＝－eπ的等比数列．5
