第57课立体几何中的翻折问题【例1】（2014越秀质检）如图，菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【解析】（1）证明：∵为的中点，为的中点，∴∥.∵平面，平面，∴∥平面.（2）∵在菱形中，，∴在三棱锥BACD中，.在菱形中，，，∴.∵为的中点，∴.∵为的中点，为的中点，∴.∵，∴，即.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（3）由（2）得，OD平面，∴是三棱锥的高.∵，，1MDOACBAOCBD∴.【例2】（2014珠海质检）在边长为的正方形中，、分别为、的中点，、分别为、的中点，现沿、、折叠，使、、三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求多面体的体积．【解析】（1）∥平面，证明如下：因翻折后、、三点重合（如图），∴为的一条中位线，∴∥，∵平面，平面∴∥平面．（2）∵，，∴平面．（3）∵，∴，又∵，∴．第57课立体几何中的翻折问题课后作业1.（2013广东高考）如图1，在边长为的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中．2ABCDEFMNNAMBEFABNMFE图1图2ABCDEFGABCDEFG（1）证明:平面；（2）证明:平面；（3）当时，求三棱锥的体积．【解析】(1)在图中，由翻折不变性可知，，∴，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）在图中，∵，，，∴又，，∴平面．（3）∵，由（2）知平面，∴平面，∴平面，依题意可得，，∴，∴三棱锥的体积．2.(2014南海质检)如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积与点到平面的距离．3BFEDACBEFD【解析】（1）在正方形中，有，，则，，又，∴平面．而平面，∴．（2）∵正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，∴．∵，∴．在中，，∴．而，∴．∴．由（1）得平面，且，∴．设点到平面的距离为，则，∴．∴点到平面的距离为．3.（由2012年高考改编）设数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．（3）设，求数列的前项和【解析】（1）当时，，∵，∴，∴，(2)∵当时，∴，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，∵，∴数列的通项公式为：，．4
