专题20不等式选讲1．设f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.(1)求f(x)<0的解集；(2)当x<－1时，f(x)>f(a)，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝其图像如图所示．令f(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴f(x)<0的解集为{x|03，要使f(x)>f(a)，只需f(a)≤3.当f(a)＝3时，有－3a＝3或a－2＝3，即a＝－1或a＝5，∴－1≤a≤5.2．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．3．已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.(1)求不等式f(x)≤5的解集；(2)若函数f(x)的最小值为m，且正实数a，b，c满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≤3.解：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝当x≤0时，－2x＋3≤5，得－1≤x≤0；当04，解此不等式得a<－3或a>5.6．已知a，b为正实数．(1)若a＋b＝2，求＋的最小值；(2)求证：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．解：(1)＋＝(＋)(1＋a＋1＋b)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，等号成立的条件为＝，而a＋b＝2且a，b为正实数，所以a＝，b＝.故所求最小值为.(2)证明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时，三式等号成立，三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1)，所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．7、若不等式|a－1|≥＋＋对满足x＋y＋z＝1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．解：根据柯西不等式有(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3·[3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时，等号成立．又 |a－1|≥＋＋恒成立，∴|a－1|≥3，∴a－1≥3或a－1≤－3，即a≥3＋1或a≤1－3，∴a的取值范围是(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)．8、设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.9、已知a>0，b>0，c>0，＋＋＋3abc的最小值为m.(1)求m的值；(2)解关于x的不等式|x＋1|－2x0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．解(1)函数可化为f(x)＝∴f(x)∈[－3，3]．(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，又由(1)知f(x)max＝3.若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，∴2－3≥3，∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．12．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．解(1)f(x)＝所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．(2)只要f(x)m...
