课时作业14导数的应用(二)一、选择题1．(2014·韶关模拟)函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－D．不存在解析：y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x＜－1时，y′＜0，x＞－1时，y′＞0，所以x＝－1时，ymin＝－.答案：C2．(2015·德州期末)设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2D．K的最小值为2解析：由f(x)＝，令f′(x)＝＝＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，即f(x)＝在x＝1时取到最大值，而f(x)≤K恒成立，所以≤K，故K的最小值为，选B.答案：B3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7]解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)． f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.答案：B4．(2015·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋B．1C．e＋1D．e－1解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且当x＞0时，f′(x)＝ex－1＞0，x＜0时，f′(x)＝ex－1＜0，即函数在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D.答案：D5．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为()解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)1＝excosx，0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是上的增函数．∴f(x)的最大值为f＝f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)在上的值域为答案：A6．(2015·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0；④若对∀x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由题意得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.则必有解得所以f(x)＝x3－4x.令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±.则函数在[－2,2]上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B.答案：B二、填空题7．(2014·开封一模)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是__________．解析：当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg′(x)＋0－2g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)8．(2014·扬州模拟)已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝__________.解析：f′(x)＝＋＝(x＞0)，①当m＞0时，f′(x)＞0，f(x)在区间[1，e]上为增函数，f(x)有最小值f(1)＝－m＝4，得m＝－4，与m＞0矛盾．②当m＜0时，若－m＜1，即m＞－1，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，得m＝－4，与m＞－1矛盾；若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾；若－m＞e，即m＜－e时，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e，符合题意．答案：－3e9．(2014·汕头模拟)已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x＞－1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜－1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，即最小值为f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－.答案：三、解答题10．(2014·临川模拟)已知x＝2是函数f(x)＝x3－bx2＋2x＋a的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若当x∈[1，＋∞)时，f(x)－＞a2恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1) f′(x...
