课时跟踪检测（五十二）直线与圆锥曲线1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝()A.B.C．5D.解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2. p＝2，∴|AB|＝2＋＝.3．(2018·聊城二模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是()A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点且都在左支上D．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D直线l的方程为y＝，代入C：－＝1，整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|＝()A．3B．4C．3D．4解析：选C由题意可设lAB为y＝x＋b，代入y＝－x2＋3得x2＋x＋b－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝－1＋2b.所以AB中点坐标为，该点在x＋y＝0上，即－＋＝0，得b＝1，所以|AB|＝·＝3.6．(2019·青岛模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为()A.B．1C.D．2解析：选D设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－.由得x2－2pkx＋p2＝0，由Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1，则Q，P，∴△APQ的面积为×2p×p＝4，∴p＝2.故选D.7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A．2B.C.D.解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得：＝，则＝＝.由直线AB的斜率k＝＝1，∴＝1，则＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·福州模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选CF，直线AB的方程为y＝x－.联立得方程组可得x2－3px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，则y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，∴M，∴N(0，p)，直线MC的方程为y＝－x＋.∴C，∴四边形CMNF的面积为S梯形OCMN－S△ONF＝－··p＝＝7，又p＞0，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A．4B.C.D.解析：选B △ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos60°，∴(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，即c2＝7a2，∴e＝＝＝.故选B.10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为()A．2B．2C．4D．3解析：选A l与圆相切，∴原点到直线的距离d＝＝1，∴m2＝1＋k2，由得(1－k2)x2－2mkx...
