第6节空间直角坐标系【选题明细表】知识点、方法题号空间中点的坐标1,3,12空间中点的对称问题2,5,8,14空间两点间距离公式及应用4,6,7,9,10,11,13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.下列叙述中,正确的个数是(C)①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0);②在空间直角坐标系中,在yOz平面上点的坐标一定可写成(0,b,c);③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c);④在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标可写成(a,0,c).(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①在Ox轴上的点坐标一定是(a,0,0),故错误,②③④正确.2.(2016合肥一中月考)已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为(C)(A)(1,-3,-4)(B)(-4,1,-3)(C)(3,-1,-4)(D)(4,-1,3)解析:关于原点对称的点的坐标的特点是x、y、z坐标全部变为原来的相反数.3.点B是A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于(B)(A)(B)(C)2(D)解析:由已知得B(0,2,3),所以|OB|==.4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:BC的中点D（,,）,即D(2,1,4).所以BC边上的中线长为|AD|==3.5.点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点为A1,点B(-2,-2,1)关于平面xOy的对称点为B1,则|A1B1|等于(C)(A)25(B)5(C)5(D)50解析:因点A1与点B1都是点A,B关于同一平面xOy的对称点,所以|A1B1|=|AB|==5.6.在空间直角坐标系中,定点P到三个坐标轴的距离都是2,则该点到原点的距离为(A)(A)(B)2(C)(D)2解析:设P(x,y,z),则由题意得①+②+③得2(x2+y2+z2)=12,即x2+y2+z2=6,所以|PO|==.7.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状为(B)(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形解析:|AB|==;|AC|===5;|BC|==.因为|AB|2=|AC|2+|BC|2,且|AB|,|AC|,|BC|两两不等,所以△ABC为直角三角形.8.已知点A(1,-2,1)关于平面xOy的对称点为A1,则|AA1|=.解析:易知A1(1,-2,-1),所以|AA1|==2.答案:29.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为.解析:设P(0,b,0),因为|PA|=|PB|,所以=,解得b=-.答案:（0,-,0）10.在空间直角坐标系中,正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3,-1,2)其中心M(0,1,2),则该正方体的棱长为.解析:|AM|==.所以对角线|AC1|=2,设棱长为a,则a=2,解得a==.答案:能力提升练(时间:15分钟)11.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点坐标为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,则正方体的对角线长为(A)(A)14(B)3(C)5(D)42解析:由题意知AB即为正方体的对角线,|AB|==14.12.长方体ABCDA1B1C1D1中,D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(B)(A)9(B)(C)5(D)2解析:由长方体的性质可知|CC1|=|AA1|=3,|C1D1|=|AB|=2,又C在yOz面内,所以C1(0,2,3).所以|AC1|==.13.已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则|AB|的最小值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:|AB|==.当t=时,|AB|的最小值为.14.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M′,则M′在平面xOz上的射影M″的坐标是.解析:点M(2,1,-3)关于原点的对称点为M′(-2,-1,3),点M′在平面xOz上的射影M″的坐标是(-2,0,3).答案:(-2,0,3)15.Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x=.解析:|AB|==,|AC|==,|BC|==,由∠BAC=90°得|AB|2+|AC|2=|BC|2,即2+(x-2)2+1=(x-1)2+2,解得x=2.答案:216.试在平面xOy内的一条直线x+y=1上确定一点M,使M到点N(6,5,1)的距离最小.解析:设点M的坐标为(x,y,0),则y=1-x,即M(x,1-x,0),因为|MN|==,所以|MN|min=,此时x=1,点M的坐标为(1,0,0).答案:(1,0,0)精彩5分钟1.(2014高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别为三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(D)(A)S1=S2=S3(B)S2=S1且S2≠S3(C)S3=S1且S3≠S2(D)S3=S2且S3≠S1解题关键:转化为平面图形.解析:根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,显然S1=×2×2=2,S2=S3=×2×=.2.已知空间中的四个点O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则三棱锥OABC的体积是.解题关键:判断出该三棱锥为正三棱椎.解析:因为|OA|=|OB|=|OC|=,|AB|=|BC|=|CA|=,所以三棱锥为正四面体,其棱长为.所以V=××()2××=.答案:
