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高考数学 玩转压轴题 专题3.8 欲证直线过定点,结合特征方程验-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 玩转压轴题 专题3.8 欲证直线过定点,结合特征方程验-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题3.8欲证直线过定点,结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种:(1)如果题设条件没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立,那么我们根据特殊情况先找到这个定点,再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算,找出参数之间的关系,并在计算过程中消去部分参数,将直线方程化为点斜式方程,从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程,观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征,即可找出直线所过顶点坐标,并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1【2017课标1,理20】已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.类型二椭圆中直线过已知定点问题例2.【2017课标II,理】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足。(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线上,且,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【解析】(1)设出点P的坐标,利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。(2)由题意知。设,则,。由得,又由(1)知,故。所以,即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。类型三点在定直线上问题例3【2016高考山东理数】平面直角坐标系中,椭圆C:的离心率是,抛物线E:的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.设,联立方程得,由,得且,因此,(ii)由(i)知直线方程为,令得,所以,又,所以,,所以,令,则,当,即时,取得最大值,此时,满足,所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为.类型四抛物线中直线过定点问题例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线l过定点.【扩展链接】1.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若直线斜率之积为定值,两直线交圆锥曲线于两点,则直线过定点.2.已知为过抛物线=的焦点的弦,,则.3.已知为过椭圆的焦点的弦,,则.4.已知直线,当变动时,直线恒过定点.【同步训练】1.已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,定点,P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率求得a=c,且丨F1F2丨=丨PF2丨,利用勾股定理即可求得c及a和b的值;(2)将直线代入椭圆方程,利用直线的斜率公式求得=,=,由+=0,结合韦达定理,即可求得m=﹣2k.则直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).且=,=由已知α+β=π,得+=0,即+=0,化简,得2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0,∴2k×﹣(m﹣k)()﹣2m.整理得m=﹣2k.∴直线MN的方程为y=k(x﹣2),∴直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).2.已知焦距为2的椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,直线y=与椭圆C交于P、Q两点(P在Q的左边),Q在x轴上的射影为B,且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.(i)若直线l过原点且与坐标轴不重合,E是直线3x+3y﹣2=0上一点,且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,求k的值(ii)若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DA⊥AM,点G是x轴上异于点M的点,且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证...

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