第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式［解密考纲］三角恒等变换是三角函数变形的工具.主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.一、选择题1．已知sin2α＝，则cos2＝(D)A．－B．－C．D．解析∵cos2＝＝，∴cos2＝.2．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为(D)A．B．－C．D．－解析cos2α＝sin＝sin＝2sincos，代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，∴－α∈，∴sin<0，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－，故选D．3．(2018·河南八市质检)已知α∈，tan＝，那么sin2α＋cos2α的值为(A)A．－B．C．－D．解析由tan＝，知＝，∴tan2α＝－.∵2α∈，∴sin2α＝，cos2α＝－，∴sin2α＋cos2α＝－，故选A．4．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝(A)A．B．C．D．解析由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，解得sinα＝－2(舍去)或sinα＝，又由α为锐角，可得cosα＝，∴sin＝sinα＋cosα＝，故选A．5．函数f(x)＝sin2x＋tancos2x的最小正周期为(B)A．B．πC．2πD．4π解析因为f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故选B．6．(2018·贵州贵阳检测)已知sin＋sinα＝，则sin的值是(D)A．－B．C．D．－解析sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.1二、填空题7．的值为1.解析原式＝＝＝＝＝＝1．8．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝.解析由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.9．(2018·山东济宁一模)已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tanβ，则tanα的最大值为.解析∵α，β∈，∴tanα>0，tanβ>0，∴tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝，即(tanα)max＝.三、解答题10．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解析(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.11．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值.解析(1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.12．(2018·湖南常德模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋mcosωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m的值；(2)若f＝，θ∈，求f的值.解析(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.由题意知函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.2(2)由(1)得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f＝2sin＝，∴sin＝.∵θ∈，∴θ＋∈，∴cos＝－＝－，∴sinθ＝sin＝sin·cos－cos·sin＝，∴f＝2sin＝2sin＝2cos2θ＝2(1－2sin2θ)＝2＝－.3
