高中数学电子题库第三章3.2知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2011·高考安徽卷)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：选C.∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4.2.(2011·高考湖南卷)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1解析：选C.－＝1的渐近线为y＝±x，∴a＝2.3.已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：(±4，0)y＝±x4.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．解析：如图，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，∴∠B1F1O＝30°.在△B1OF1中，＝tan30°，∴＝.∴＝.∴1－＝，∴＝.∴e2＝＝，∴e＝.答案：[A级基础达标]1.(2012·西安质检)下列曲线中离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B.双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B.2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－B．－4C．4D.解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2.∴－＝b2＝4.∴m＝－，故选A.3.双曲线x2－y2＝－3的()A．顶点坐标是(±，0)，虚轴端点坐标是(0，±)B．顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)C．顶点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±xD．虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x＝±y解析：选B.将x2－y2＝－3化为－＝1，知a＝，b＝，c＝，焦点在y轴上，所以顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±x.4.(2012·咸阳检测)双曲线－＝1的渐近线方程是______．解析：方程－＝1，即为－＝1，∴a＝2，b＝2.∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x5.(2012·新余调研)与椭圆x2＋4y2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x＋y＝0的双曲线的方程是________．解析：椭圆x2＋4y2＝16化为标准方程为＋＝1，∴焦点在x轴上，且c＝2.∴双曲线焦点在x轴上，且c＝2.又＝，∴＝，即a2＝3b2.1又a2＋b2＝c2＝12，∴a2＝9，b2＝3.∴双曲线方程为－＝1.答案：－＝16.双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．解：椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b＝＝2，所以双曲线方程为－＝1.[B级能力提升]7.焦距为10，且＝的双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1或－＝1解析：选D.由题意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选D.8.(2011·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4解析：选B.由，解得，由题得，得，又＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，∴焦距2c＝2.故选B.9.(2012·驻马店质检)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．解析：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF2|＝a≥c－a.∴a≥c，即≤.∴双曲线离心率e最大值为.答案：10.双曲线C与双曲线－＝1有共同的渐近线，且C上存在一点P与点Q(2－2，5)关于直线y＝－x＋2对称，求双曲线C的方程．解：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，又设P点坐标为(x，y)，由题意，得解之得又双曲线C过点P(－3，2)，所以λ＝－＝，所以所求双曲线C的方程为－＝，即x2－y2＝1.11.(创新题)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求＋的值．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，则两式相加得4a＋4a＝8c2，整理得＋＝2.2
