第二讲椭圆、双曲线与抛物线第三部分抛物线一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋抛物线的焦半径抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.基础自测1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D．0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.【答案】B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.【答案】B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2【解析】设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，1由题意知＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y，∴m2＝16，∴m＝±4.【答案】C4．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方程为x＝－，∴－＝－，∴p2＝16，又p＞0，则p＝4.【答案】45．(2013·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.【答案】B6．(2013·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．【解析】 抛物线y2＝2px的焦点坐标为，∴准线方程为x＝－.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p＝2，准线方程为x＝－1.【答案】2x＝－1考点一抛物线的定义及标准方程例(1)设圆C与圆C′：x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆（2）(2012·山东高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：(1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1的圆心C′(0,3)，半径为1.依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．故圆C的圆心轨迹是抛物线．(2) 双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.方法技巧若Px0，y0为抛物线y2＝2pxp＞0上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为Ax1，y1，Bx2，y2，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x【解析】由抛物线方程知焦点F，2∴直线l为y＝2，与y轴交点A.∴S△OAF＝|OA|·|OF|＝··＝＝4.∴a＝±8，∴抛物线方程为y2＝±8x.【答案】B考点二抛物线的几何性质例已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px，当x＝时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝＝＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝×12×6＝36.跟踪练习（2011辽宁）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.答案：C考点三直线与抛物线...
