第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值等于()A.B.C.D.2.已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.3.曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是()A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=04.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-25.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()A.1B.C.D.6.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=.7.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f'(2017)=6,则f'(-2017)=.8.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.9.(2018湖南长沙质检)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线方程.110.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.B组提升题组1.(2017四川成都第二次诊断检测)若曲线y=f(x)=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()A.B.C.(0,+∞)D.[0,+∞)2.已知f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.23.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.4.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.2答案精解精析A组基础题组1.D由题易知f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=.2.A由题意知y'=-=(x>0),解得x=3,即切点的横坐标为3.3.C因为y=sinx+ex,所以y'=cosx+ex,所以y'|x=0=cos0+e0=2,所以曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.4.C由y=x3+ax+b得y'=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1,故选C.5.B过点P作与y=x-2平行,且与曲线y=x2-lnx相切的直线,设P(x0,-lnx0),则y'=2x0-.∴2x0-=1,∴x0=1或x0=-(舍去).∴P(1,1),∴点P到直线y=x-2的最小距离d==.6.答案03解析由题图可得曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率等于-,即f'(3)=-.因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×=0.7.答案8解析由题易知f'(x)=4ax3-bsinx+7,∴f'(-x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7=-4ax3+bsinx+7.∴f'(x)+f'(-x)=14,又f'(2017)=6,∴f'(-2017)=14-6=8.8.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,∴f(-x)=ex-1+x, f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0),∴f'(x)=ex-1+1(x>0),f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.9.解析(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3+1)(0-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),4则f'(x0)=3+1=4,所以x0=±1.所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.10.解析f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围是∪.B组提升题组1.Df'(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f'(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成...
