高考数学一轮复习第2讲：二次函数一.【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.二、【课前热身】1、f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x∈(-2,2)时f(x)的表达式为-x2+1，则当x∈(-6,-2)时，f(x)的表达式是：（）(A)-x2+1（B）-(x-2)2+1(C)-(x+2)2+1（D）-(x+4)2+12、已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)≥2x对一切x∈R都成立，求a+b=.3、函数f(x)=x4-2x2+2的单调增区间是()（A）[1,+∞)，（B）(-∞,-1)∪[1,+∞)，(C)[-1,0]∪[1,+∞)，(D)以上都不对4、已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为。三.【例题探究】例1．已知函数的最大值为，求的值．例2．已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．例3．对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，用心爱心专心（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．四、【方法点拨】1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．冲刺强化训练(1)班级姓名学号日期月日1、函数是单调函数的充要条件是（）A．B．C．D．用心爱心专心2、函数的定义域为，那么其值域为（）A．B．C．D．3、若函数f(x)=的图象位于x轴的下方，则实数a的取值范围是()4、使函数具有反函数的一个条件是_____________________________。（只填上一个条件即可，不必考虑所有情形）。5、若函数的图象关于对称则．6、若sin2x+cosx+a=0有实根，试确定实数a的取值范围（）7、已知函数。(Ⅰ)当的值及的表达式；（Ⅱ）设的值恒为负值？8、已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)是否存在实数，使的定义域和值域分别是和？如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.用心爱心专心9、已知二次函数的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8,.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；(Ⅱ)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.用心爱心专心第1讲二次函数一、课前热身1、D21103、D4、（－∞，－1）二、例题探究例1．解：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍去）．（2）当，即时，函数在单调递增，由，得．（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）．综上可得：的值为或．例2．解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得．解法二：由题知或，得．例3．解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，用心爱心专心∴，得的取值范围为．（3）由得，由题知，，设中点为，则的横坐标为，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．冲刺强化训练(1)1、2、A3、C4、5、66、[-5/4,1]7、（Ⅰ）（Ⅱ）8、（Ⅰ）。（Ⅱ）存在m=4，n=0满足要求。9、(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2.设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(－,－)由=8,得k=8,.∴f2(x)=.故f(x)=x2+.(Ⅱ)（证法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+,即=－x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=－x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)与的图象是以(0,a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)=4,f3(2)=－4+a2+，当a>3时,.f3(2)－f2(2)=a2+－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.（证法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a－=0化为用心爱心专心ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=,x3=,x2<0,x3>0,∵x1≠x2,且x2≠x3.若x1=x3,即a=,则3a2=,a4=4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x1≠x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.用心爱心专心
