专题八系列4选讲第二讲不等式选讲适考素能特训文1．[2016·湖北八校联考]已知函数f(x)＝|x－10|＋|x－20|，且满足f(x)<10a＋10(a∈R)的解集不是空集．(1)求实数a的取值集合A；(2)若b∈A，a≠b，求证：aabb>abba.解(1)|x－10|＋|x－20|<10a＋10的解集不是空集，则(|x－10|＋|x－20|)min<10a＋10，∴10<10a＋10，∴a>0，A＝(0，＋∞)．(2)证明：不妨设a>b，则＝a－b， a>b>0，∴>1，a－b>0，a－b>1，∴aabb>abba.2．[2016·河南测试]已知函数f(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋5)≥9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)．解(1)f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|＝当x<－3时，由－2x－1≥9，解得x≤－5；当－3≤x≤2时，f(x)≥9，不成立；当x>2时，由2x＋1≥9，解得x≥4.所以不等式f(x)＋f(x＋5)≥9的解集为{x|x≤－5或x≥4}．(2)证明：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)，即|ab＋1|>|a＋b|.因为|a|<1，|b|<1，所以|ab＋1|2－|a＋b|2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2＋2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以|ab＋1|>|a＋b|，故所证不等式成立．3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．解(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1，综上，原不等式的解集是{x|x<0}．(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当ax＝，即x＝时“＝”成立，所以g(x)min＝2－1，f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，所以2－1≥1，即a≥1为所求．4．[2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．5．[2016·湖北七市联考]设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1,3]，求a的取值范围．解(1)由于a＝1，故f(x)＝当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤.当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为∪[3，＋∞)．(2)当a<2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]，由A⊆[－1,3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；当a≥2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，由A⊆[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a的取值范围为[1,3]．6．[2016·西安交大附中六诊]设函数f(x)＝＋|x－a|.(1)求证：当a＝－时，不等式lnf(x)>1成立；(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．解(1)证明：由f(x)＝＋＝得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3>e.所以lnf(x)>1成立．(2)由绝对值的性质得f(x)＝＋|x－a|≥＝，所以f(x)最小值为，从而≥a，解得a≤，因此a的最大值为.7.[2016·太原测评]对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.解(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，所以M的最大值m是的最小值．因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，≥2成立，所以m＝2.(2)|x－1|＋|x－2|≤2.解法一：利用绝对值的意义得≤x≤.解法二：当x<1时，原不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2，解得x≥，所以x的取值范围是≤x<1；当1≤x≤2时，原不等式化为(x－1)－(x－2)≤2，得x的取值范围是1≤x≤2；当x>2时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤.所以x的取值范围是2
