9.8.2范围、最值问题A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2016·吉林长春二模)过双曲线x2－＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19【解析】由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.【答案】B2．(2017·台州模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|OM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.C．4D．5【解析】由OM·PM＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.【答案】B3．(2017·江西南昌调研)已知圆O1：(x－2)2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1＞e2)，则e1＋2e2的最小值是()A.B.C.D.【解析】①当动圆M与圆O1，O2都相内切时，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，故e1＝.②当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′，故e2＝.因此e1＋2e2＝＋＝，令12－r＝t(10＜t＜12)，e1＋2e2＝2×≥2×＝＝，故选A.【答案】A4．(2017·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP·FP的最小值为________．【解析】点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋. －3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即6≤OP·FP≤12.故最小值为6.【答案】65．(2017·浙江温州一模)已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．【解析】设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.【答案】(2，＋∞)6．(2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.(ⅰ)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知2a＝4，2c＝2，所以a＝2，b＝＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)(ⅰ)设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，所以直线PM的斜率k＝＝.直线QM的斜率k′＝＝－.此时＝－3.所以为定值－3.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线PA的方程为y＝kx＋m，直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.由x0x1＝，可得x1＝，所以y1＝kx1＋m＝＋m.同理x2＝，y2＝＋m.所以x2－x1＝－＝，y2－y1＝＋m－－m＝，所以kAB＝＝＝.由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．此时＝，即m＝，符合题意．所以直线AB的斜率的最小值为.7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e＝，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，若AF2·BF2＝0，且＜e≤，求k的取值范围．【解析】(1)由焦点F2(3，0)，知c＝3，又e＝＝，所以a＝2.又由a2＝b2＋c2，解得b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1＋x2＝0，x1x2＝－.又AF2＝(3－x1，－y1)，BF2＝(3－x2，－y2)，所以AF2·BF2＝(3－x1)(3－x2)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，即＋9＝0，整理得k2＝＝－1－.由＜e≤及c＝3，知2≤a＜3，12≤a2＜18.所以a4－18a2＝(a2－9)2－81∈[－72，0)，所以k2≥，则k≥或k≤－，因此实数k的取值范围为∪.B组专项能力提升...
