江苏东海进修学校高补班07年12月质量检测数学试题（命题人：卞韶美）一、填空题（每小题5分，共70分）1.设全集为R，，则2.命题：的否定是3.函数的单调递增区间是4.函数，若，则与大小关系是.5.已知为等比数列的前项和.且.则等于1.6.已知||=2||，关于的方程||+=0有实根，则与的夹角的取值范围是.7.若数列是首项为1,公比为2的等比数列，则=.8.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则的值为.9.函数的定义域为R,则的范围是.10.将圆按向量=平移后，恰好于直线相切，则=.11.实数,,则大小关系是12.已知满足,目标函数仅在(3,0)处取得最大值,则的范围是.13.在正方体中,过对角线的一个平面交,交,则(1)四边形一定是平行四边形（2）四边形有可能是正方形（3）四边形在底面上的投影一定是正方形（4）平面有可能垂直与平面以上结论正确的是（1）、（3）、（4）（填上所有你认为正确的答案）14.观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为.1三、解答题:（共90分）15.已知向量(1);(2)求函数的最小值.解：(1)（2）∴当且仅当取得最小值.16.已知函数，且方程有两个实根为（1）求函数的解析式；（2）设，解关于的不等式.解：⑴解方程组得，所以，。⑵移项通分，化简不等式，得所以，①当时，不等式的解集是；②当时，不等式的解集是；③当时，不等式的解集是。17．在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆C：；（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，解得2所以存在，Q的坐标为.18.数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．解：（1）由．为等差数列数列的通项解：（1）由．为等差数列数列的通项（2）当时，当时，＝令＝－＝＝＝当时，＝3＝分19．设分别是椭圆的左、右焦点（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，，求的最大值；（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得即，又在椭圆上，，解得，于是所以椭圆的方程是，焦点(2)设，则，又，当时，(3)类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值。设点，则点，其中，设点，则由，，得，将代入上式得：420.已知函数满足对任意，且，都有．（1）求实数的取值范围；（2）试讨论函数在区间上的零点的个数；（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．解：（1）∵，又∵，∴必有，∴实数的取值范围是．（2），由（1）知：，所以。由，①当时，总有，<0，，故时，在上有一个零点；②当时，，即时，在上有两个零点；③当时，有，<0，，故时，在上有两个零点。综上：时，在上有一个零点；时，在上有两个零点。（3）∵，显然，对称轴．①当，即时，，且．5令，解得，此时取较大的根，即，∵，∴．②当，即时，，且．令，解得，此时取较小的根，即，∵，∴．当且仅当时，取等号．∵，∴当时，取得最小值－3．6
